Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Harison** » Qua 10 Ago, 2022 08:54

De um ponto [tex3]P[/tex3] do espaço, um astronauta vê a Terra sob um ângulo de medida [tex3]\theta[/tex3] , conforme a figura:

: 20220731_230314.jpg (57.11 KiB) Exibido 585 vezes

Admitindo-se que o raio da Terra meça [tex3]6.400\ km[/tex3] e que [tex3]cos\theta=-0,62[/tex3] , concluiu-se que o ponto [tex3]P[/tex3] está, em relação à superfície da Terra, a uma altura aproximada de:

a) [tex3]300\ km[/tex3]
b) [tex3]530\ km[/tex3]
c) [tex3]580\ km[/tex3]
d) [tex3]623\ km[/tex3]
e) [tex3]711\ km[/tex3]

Resposta

711 km

: P da terra.png (39.3 KiB) Exibido 509 vezes

Temos que os segmentos [tex3]\overline{AP}[/tex3] e [tex3]\overline{BP}[/tex3] são tangentes a circunferência da terra. Sabemos que retas tangentes a uma circunferência são perpendiculares a segmentos que ligam o ponto de tangência e o centro. Portanto, [tex3]\overline{AP}\perp\overline{AC}[/tex3] e [tex3]\overline{BP}\perp\overline{BC}[/tex3] . Como o triângulo [tex3]\Delta ACP[/tex3] e [tex3]\Delta BCP[/tex3] ambos possuem um ângulo reto, tem mesma hipotenusa [tex3]\overline{CP}[/tex3] e possuem cateto de comprimento [tex3]r[/tex3] , então estes triângulos são congurentes.
Devido a semelhança, os ângulos opostos ao cateto [tex3]r[/tex3] , [tex3]\widehat{APC}[/tex3] e [tex3]\widehat{
BPC}[/tex3] tem mesma medida. Como a soma destes é [tex3]\theta[/tex3] , temos:
[tex3]\widehat{APC}+\widehat{BPC}=\theta[/tex3]
[tex3]\widehat{APC}+\widehat{APC}=\theta[/tex3]
[tex3]2\widehat{APC}=\theta[/tex3]
[tex3]\widehat{APC}={\theta\over2}[/tex3]
Pela definição de cosseno no triângulo [tex3]\Delta ACP[/tex3] :
[tex3]\cos\(\widehat{APC}\)={\overline{AP}\over h}[/tex3]
[tex3]{\overline{AP}}=h\cos\(\widehat{APC}\)[/tex3]
[tex3]{\overline{AP}}=h\cos\(\theta\over2\)[/tex3]

Como temos informação de [tex3]\cos(\theta)[/tex3] , temos que manipular [tex3]\cos\(\theta\over2\)[/tex3] . Pela fórmula do arco duplo de cosseno:
[tex3]\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sen^2(\alpha)[/tex3]
Fazendo [tex3]\alpha={\theta\over2}[/tex3] , temos:
[tex3]\cos\(2\cdot{\theta\over2}\)=\cos^2\({\theta\over2}\)-\sen^2\({\theta\over2}\)[/tex3]
[tex3]\cos\(\theta\)=\cos^2\({\theta\over2}\)-\sen^2\({\theta\over2}\)[/tex3]
Sabemos que [tex3]\sen^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1[/tex3] , logo:
[tex3]\cos\(\theta\)=\cos^2\({\theta\over2}\)-\[1-\cos^2\({\theta\over2}\)\][/tex3]
[tex3]\cos\(\theta\)=2\cos^2\({\theta\over2}\)-1[/tex3]
[tex3]2\cos^2\({\theta\over2}\)=\cos\(\theta\)+1[/tex3]
[tex3]\cos\({\theta\over2}\)=\sqrt{\cos\(\theta\)+1\over2}[/tex3]
Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:
[tex3]h^2=\(\overline{AP}\)^2+r^2[/tex3]
[tex3]h^2=\(h\cos\(\theta\over2\)\)^2+r^2[/tex3]
[tex3]h^2=h^2\cos^2\(\theta\over2\)+r^2[/tex3]
[tex3]h^2-h^2\cos^2\(\theta\over2\)=r^2[/tex3]
[tex3]h^2\[1-\cos^2\(\theta\over2\)\]=r^2[/tex3]
[tex3]h=\sqrt{r^2\over 1-\cos^2\(\theta\over2\)}[/tex3]
[tex3]h=r\sqrt{1\over 1-\cos^2\(\theta\over2\)}[/tex3]
[tex3]h=r\sqrt{1\over 1-\[\sqrt{\cos\(\theta\)+1\over2}\]^2}[/tex3]
[tex3]h=r\sqrt{1\over 1-{\cos\(\theta\)+1\over2}}[/tex3]
[tex3]h=r\sqrt{2\over 2-{\cos\(\theta\)-1}}[/tex3]
[tex3]h=r\sqrt{2\over 1-{\cos\(\theta\)}}[/tex3]
Substituindo os dados:
[tex3]h=6400\sqrt{2\over 1-(-0,62)}[/tex3]
[tex3]h\approx 7111 \text{ km}[/tex3]
Como queremos a distância até a superfície, basta subtrair o raio:
[tex3]d=h-r[/tex3]
[tex3]d=711 \text{ km}[/tex3]

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