Ensino Médio

leozinhorj

no conjunto C dos números complexos, seja tal que IaI<1.o lugar geométrico dos pontos z [tex3]\in c[/tex3] que satisfazem a igualdade
[tex3]\frac{[z-a]}{[1-\overline {a}z]}[/tex3] = 1 (a fração está em módulo)
gostaria de, se possível, ter uma interpretação geométrica

[tex3]\left|z-a\over1-\overline{a} \cdot z\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|z-a\right|=|1-\overline{a} \cdot z|[/tex3]
Seja [tex3]z=x+yi[/tex3] e [tex3]a=m+ni[/tex3] , sendo [tex3]x,y,m,n\in \mathbb{R}[/tex3] . Como [tex3]\overline{a}=m-ni[/tex3] , temos:
[tex3]\left|x+yi-m-ni\right|=|1-(m-ni)(x+yi)|[/tex3]
[tex3]\left|(x-m)+(y-n)i\right|=|1-mx-myi+xni+nyi^2|[/tex3]
[tex3]\left|(x-m)+(y-n)i\right|=|1-mx-myi+xni-ny|[/tex3]
[tex3]\left|(x-m)+(y-n)i\right|=|(1-mx-ny)+(xn-my)i|[/tex3]
Pela definição de módulo, temos:
[tex3]\sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}=\sqrt{(1-mx-ny)^2+(xn-my)^2}[/tex3]
[tex3]{(x-m)^2+(y-n)^2}={(1-mx-ny)^2+(xn-my)^2}[/tex3]
[tex3]{x^2-2xm+m^2+y^2-2yn+n^2}=1+m^2x^2+n^2y^2-2mx-2ny+2mnxy+x^2n^2-2mnxy+m^2y^2[/tex3]
[tex3]{x^2+m^2+y^2+n^2}=1+m^2x^2+n^2y^2+x^2n^2+m^2y^2[/tex3]
[tex3]x^2+y^2+(m^2+n^2)=1+(m^2+n^2)x^2+(m^2+n^2)y^2[/tex3]
[tex3]x^2+y^2+(m^2+n^2)=1+(m^2+n^2)(x^2+y^2)[/tex3]
[tex3]x^2+y^2-(m^2+n^2)(x^2+y^2)=1-(m^2+n^2)[/tex3]
[tex3](1-m^2-n^2)(x^2+y^2)=1-m^2-n^2[/tex3]
Como [tex3]|a|<1[/tex3] , então [tex3]\sqrt{m^2+n^2}<1\implies m^2+n^2<1\implies 1-m^2-n^2>0[/tex3] , portanto [tex3]1-m^2-n^2\neq0[/tex3] . Assim, podemos dividir ambos os lados por [tex3]1-m^2-n^2[/tex3]
[tex3](1-m^2-n^2)(x^2+y^2)=1-m^2-n^2[/tex3]
[tex3]x^2+y^2=1[/tex3]
Assim, o lugar geométrico é uma circunferência de raio 1 centrada na origem.

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