a)
[tex3]4\cos^2(x)-(2\sqrt2+2)\cos(x)+\sqrt2\leq 0[/tex3]
[tex3]\cos^2(x)-2\({\sqrt2+1\over4}\)\cos(x)+{\sqrt2\over4}\leq 0[/tex3]
[tex3]\cos^2(x)-2\({\sqrt2+1\over4}\)\cos(x)+\({\sqrt2+1\over4}\)^2-\({\sqrt2+1\over4}\)^2+{\sqrt2\over4}\leq 0[/tex3]
[tex3]\(\cos(x)-{\sqrt2+1\over4}\)^2-{2+2\sqrt2+1\over16}+{\sqrt2\over4}\leq 0[/tex3]
[tex3]\(\cos(x)-{\sqrt2+1\over4}\)^2-{3+2\sqrt2\over16}+{4\sqrt2\over16}\leq 0[/tex3]
[tex3]\(\cos(x)-{\sqrt2+1\over4}\)^2+{2\sqrt2-3\over16}\leq 0[/tex3]
[tex3]\(\cos(x)-{\sqrt2+1\over4}\)^2\leq{3-2\sqrt2\over16}[/tex3]
[tex3]\left|\cos(x)-{\sqrt2+1\over4}\right|\leq\sqrt{3-2\sqrt2\over16}[/tex3]
[tex3]\left|\cos(x)-{\sqrt2+1\over4}\right|\leq\sqrt{1-2\sqrt2+2\over16}[/tex3]
[tex3]\left|\cos(x)-{\sqrt2+1\over4}\right|\leq\sqrt{(1-\sqrt2)^2\over16}[/tex3]
[tex3]\left|\cos(x)-{\sqrt2+1\over4}\right|\leq{|1-\sqrt2|\over4}[/tex3]
[tex3]\left|\cos(x)-{\sqrt2+1\over4}\right|\leq{\sqrt2-1\over4}[/tex3]
[tex3]-{\sqrt2-1\over4}\leq \cos(x)-{\sqrt2+1\over4}\leq{\sqrt2-1\over4}[/tex3]
[tex3]{\sqrt2+1\over4}-{\sqrt2-1\over4}\leq \cos(x)\leq{\sqrt2+1\over4}+{\sqrt2-1\over4}[/tex3]
[tex3]{1\over2}\leq \cos(x)\leq{\sqrt2\over2}[/tex3]
No círculo trigonométrico:
- cosx entre 1s2 e sqrt2s2.png (61.5 KiB) Exibido 243 vezes
Temos que
[tex3] x\in\[{\pi\over4},{\pi\over 3}\]\cup\[{5\pi\over3},{7\pi\over4}\][/tex3]b)
[tex3]{\sen^2(x)\over 3}+{\cos(x)\over2}-{1\over2}\leq0[/tex3]
[tex3]{1-\cos^2(x)\over 3}+{\cos(x)\over2}-{1\over2}\leq0[/tex3]
[tex3]{2-2\cos^2(x)}+{3\cos(x)}-3\leq0[/tex3]
[tex3]{-2\cos^2(x)}+{3\cos(x)}-1\leq0[/tex3]
[tex3]\cos^2(x)-{3\over2}\cos(x)+{1\over2}\geq0[/tex3]
[tex3]\cos^2(x)-{3\over2}\cos(x)+\(3\over4\)^2-\(3\over4\)^2+{1\over2}\geq0[/tex3]
[tex3]\(\cos(x)-{3\over4}\)^2-{9\over16}+{1\over2}\geq0[/tex3]
[tex3]\(\cos(x)-{3\over4}\)^2-{1\over16}\geq0[/tex3]
[tex3]\(\cos(x)-{3\over4}\)^2\geq{1\over16}[/tex3]
[tex3]\left|\cos(x)-{3\over4}\right|\geq{1\over4}[/tex3]
Dividindo em dois casos:
[tex3]\cos(x)-{3\over4}\geq{1\over4}[/tex3]
[tex3]\cos(x)\geq1[/tex3]
Como [tex3]\cos(x)\leq 1[/tex3]
, a única solução ocorre quando [tex3]\cos(x)=1[/tex3]
, ou seja, [tex3]x=\{0\}[/tex3]
.
[tex3]-\left(\cos(x)-{3\over4}\right)\geq{1\over4}[/tex3]
[tex3]\cos(x)-{3\over4}\leq-{1\over4}[/tex3]
[tex3]\cos(x)\leq{1\over2}[/tex3]
No círculo trigonométrico:
- cosx menor que 1s2.png (58.51 KiB) Exibido 243 vezes
Temos que [tex3]x\in\[{\pi\over3},{5\pi\over3}\][/tex3]
Portanto, temos
[tex3]x\in\[{\pi\over3},{5\pi\over3}\]\cup\{0\}[/tex3].
c)
[tex3]\sen(x)\(\sen(x)-\frac{1}{2}\)(2\sen(x)-\sqrt{2})>0[/tex3]
Para saber se um produto é maior que zero, basta saber o sinal de cada fator dele. Vamos analisa-los separadamente (obs: vou deixar de tarefa verificar os resultados abaixo):
- [tex3]\sen(x)>0[/tex3]
se [tex3]x\in(0,\pi)[/tex3]
;
- [tex3]\sen(x)-\frac{1}{2}>0[/tex3]
[tex3]\sen(x)>\frac{1}{2}[/tex3]
Temos que [tex3]x\in\({\pi\over6},{5\pi\over6}\)[/tex3]
;
- [tex3]2\sen(x)-\sqrt{2}> 0[/tex3]
[tex3]\sen(x)>{\sqrt{2}\over2}[/tex3]
Temos que [tex3]x\in\({\pi\over4},{3\pi\over4}\)[/tex3]
;
Assim, temos:
- senx vezes senx menos meio vezes 2senx menos sqrt2.png (19.24 KiB) Exibido 243 vezes
Portanto,
[tex3]x\in\(0,{\pi\over6}\)\cup\({\pi\over4},{3\pi\over4}\)\cup\({5\pi\over6},\pi\)[/tex3].