Ensino Médio ⇒ Incírculo Mixtilinear 2 Tópico resolvido

[Babi123]

O círculo em azul é o [tex3]A-incírculo \ Mixtilinear [/tex3]. Prove que: [tex3]\frac{AB}{DB}+\frac{AC}{EC}=\frac{4R}{r}[/tex3]

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Autor: Ichung Chen

[FelipeMartin]

é só usar o outro problema: viewtopic.php?f=3&t=102821

[tex3]AD = \frac {2bc}{a+b+c}[/tex3]

[tex3]DB = c - AD = c - \frac {2bc}{a+b+c} = c \frac{a+c-b}{a+b+c}[/tex3]

logo, [tex3]\frac c{DB} = \frac{a+b+c}{a+c-b} = \frac p{p-b}[/tex3]

analogamente, [tex3]\frac b{EC} = \frac{a+b+c}{a+b-c} = \frac p{p-c}[/tex3]

a soma é: [tex3]\frac p{p-b} + \frac p{p-c} = \frac{pa}{(p-b)(p-c)}[/tex3]

basta usar agora as formas trigonometricas de [tex3]p,p-b[/tex3] e [tex3]p-c[/tex3]:

[tex3]\frac{pa}{(p-b)(p-c)} = a \frac{4R \cos (\frac A2)\cos (\frac B2)\cos (\frac C2)}{4R \sen (\frac A2)\cos (\frac B2)\sen (\frac C2) 4R \sen (\frac A2)\sen (\frac B2)\cos (\frac C2)} = \frac {a \cos (\frac A2)}{4R \sen ^2(\frac A2) \sen (\frac B2) \sen (\frac C2)} = \\= \frac { \cos^2 (\frac A2)}{ \sen (\frac A2) \sen (\frac B2) \sen (\frac C2)} = \frac{4R \cos^2(\frac A2)}{r} = \frac{4R}{r_a}[/tex3]