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Resposta
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Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2022
30
11:33
Análise Combinatória
Em um clube, dez pessoas estão organizando um torneio de tênis e pretendem formar cinco duplas. Entre as pessoas, há três que já foram tenistas profissionais, e ficou combinado que nenhuma dupla pode ter dois deles. De quantos modos diferentes as cinco duplas podem ser formadas?
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LostWalker 
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Jun 2022
30
13:18
Re: Análise Combinatória
Introdução
Essa questão está dividida em duas partes: divisão dos jogadores profissionais e divisão dos restantes. Eu darei uma explicação inicial antes de cada combinação, tenha em mente que usarei [tex3]\{A,B,C,d,e,f,g,h,i,j\}[/tex3] , sendo [tex3]A,B,C[/tex3] os profissionais. Outra informação importante, para escolher as duplas dos profissionais há restrições, por isso iremos começar por eles, em geral, isso facilita a conta.
Combinatória dos Profissionais
Vamos começar estabelecendo uma ordem FIXA, nesse caso, iremos escolher a dupla de [tex3]A,B,C[/tex3] respectivamente. Se temos uma ordem fixa, veja que, o [tex3]A[/tex3] possui [tex3]7[/tex3] possibilidades, [tex3]\{d,e,f,g,h,i,j\}[/tex3] , já o [tex3]B[/tex3] terá [tex3]6[/tex3] e o [tex3]C[/tex3] terá [tex3]5[/tex3] . Logo, a combinação disso é [tex3]\boxed{7\cdot6\cdot5}[/tex3] .
Também existe outra forma de enxergar isso, menos direta. Trata-se de escolher 1 jogador profissional e um jogador normal:
[tex3]\underbrace{{1\choose3}\cdot{1\choose7}}_{\mbox{1ª Equipe}}\cdot\underbrace{{1\choose2}\cdot{1\choose6}}_{\mbox{2ª Equipe}}\cdot\underbrace{{1\choose1}\cdot{1\choose5}}_{\mbox{3ª Equipe}}[/tex3]
Entretanto, você aqui cria uma ordem sobre as equipes, diferente do primeiro meio, e para eliminar essa ordem de equipes, precisa dividir por [tex3]3![/tex3] , já que [tex3]3[/tex3] é o número de equipes formadas:
[tex3]\underbrace{{1\choose3}\cdot{1\choose7}}_{\mbox{1ª Equipe}}\cdot\underbrace{{1\choose2}\cdot{1\choose6}}_{\mbox{2ª Equipe}}\cdot\underbrace{{1\choose1}\cdot{1\choose5}}_{\mbox{3ª Equipe}}\cdot\underbrace{\frac1{3!}}_{\mbox{Quebra de}\\\mbox{Repetições}}[/tex3]
E no fim, simplificando isso tudo:
[tex3]\underbrace{3\cdot7}_{\mbox{1ª Equipe}}\cdot\underbrace{2\cdot6}_{\mbox{2ª Equipe}}\cdot\underbrace{1\cdot5}_{\mbox{3ª Equipe}}\cdot\underbrace{\frac1{3!}}_{\mbox{Quebra de}\\\mbox{Repetições}}[/tex3]
[tex3]7\cdot6\cdot5\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}3\cdot2\cdot1\cdot\frac1{3!}}}=\boxed{7\cdot6\cdot5}[/tex3]
Combinação dos Restantes
Vamos supor que os remanescentes sejam [tex3]\{d,e,f,g\}[/tex3] , sem perda de generalidade. Nesse caso, para formas os dois times restante, de modo que não importe a ordem, temos que fazer o seguinte:
Vamos começar permutando os 4 elementos:
[tex3]4!~~\Longrightarrow~~\{f,d,e,g\}[/tex3]
Agora, vamos separar eles em dois times, os dois a esquerda são um time e os dois a direita, outro time:
[tex3]4!~~\Longrightarrow~~\{{\color{PineGreen}\boxed{f,d}},{\color{Purple}\boxed{e,g}}\}[/tex3]
Porém, como a ordem dos times não importam, veja que o cenário a baixo é a mesma coisa:
[tex3]4!~~\Longrightarrow~~\{{\color{PineGreen}\boxed{f,d}},{\color{Purple}\boxed{e,g}}\}~~=~~\{{\color{Purple}\boxed{e,g}},{\color{PineGreen}\boxed{f,d}}\}[/tex3]
Para evitar essa duplicidade, precisão dividir pelo número de células, nesse caso, duas células (dois times). Então:
[tex3]\frac{4!}{2!}~~\Longrightarrow~~\{\boxed{f,d},\boxed{e,g}\}[/tex3]
nota: como não há mais diferença na ordem dos times por tirarmos as repetições, eu tirei as cores
Isso faz com que não haja mais essa duplicidade. Porém, ainda existe uma duplicidade em cada célula, veja que os casos abaixo são iguais:
[tex3]\frac{4!}{2!}~~\Longrightarrow~~\{\boxed{f,d},\boxed{e,g}\}~~=~~\{\boxed{d,f},\boxed{e,g}\}[/tex3]
Para evitar essa duplicidade dentro da célula da esquerda, dividimos novamente por [tex3]2![/tex3] . Como essa mesma duplicidade acontece na célula da direita, então, dividimos novamente por [tex3]2![/tex3] . Como fazemos isso duas vezes, temos:
[tex3]\frac{4!}{2!2!2!}=3~~\Longrightarrow~~\{\boxed{f,d},\boxed{e,g}\},\{\boxed{f,e},\boxed{d,g}\},\{\boxed{f,g},\boxed{e,g}\}[/tex3]
nota: acima, estão as 3 combinações possíveis
Conclusão
Para a resposta, basta multiplicar tudo:
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{7\cdot6\cdot5\cdot3=630}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa C}[/tex3]
Essa questão está dividida em duas partes: divisão dos jogadores profissionais e divisão dos restantes. Eu darei uma explicação inicial antes de cada combinação, tenha em mente que usarei [tex3]\{A,B,C,d,e,f,g,h,i,j\}[/tex3] , sendo [tex3]A,B,C[/tex3] os profissionais. Outra informação importante, para escolher as duplas dos profissionais há restrições, por isso iremos começar por eles, em geral, isso facilita a conta.
Combinatória dos Profissionais
Vamos começar estabelecendo uma ordem FIXA, nesse caso, iremos escolher a dupla de [tex3]A,B,C[/tex3] respectivamente. Se temos uma ordem fixa, veja que, o [tex3]A[/tex3] possui [tex3]7[/tex3] possibilidades, [tex3]\{d,e,f,g,h,i,j\}[/tex3] , já o [tex3]B[/tex3] terá [tex3]6[/tex3] e o [tex3]C[/tex3] terá [tex3]5[/tex3] . Logo, a combinação disso é [tex3]\boxed{7\cdot6\cdot5}[/tex3] .
Também existe outra forma de enxergar isso, menos direta. Trata-se de escolher 1 jogador profissional e um jogador normal:
[tex3]\underbrace{{1\choose3}\cdot{1\choose7}}_{\mbox{1ª Equipe}}\cdot\underbrace{{1\choose2}\cdot{1\choose6}}_{\mbox{2ª Equipe}}\cdot\underbrace{{1\choose1}\cdot{1\choose5}}_{\mbox{3ª Equipe}}[/tex3]
Entretanto, você aqui cria uma ordem sobre as equipes, diferente do primeiro meio, e para eliminar essa ordem de equipes, precisa dividir por [tex3]3![/tex3] , já que [tex3]3[/tex3] é o número de equipes formadas:
[tex3]\underbrace{{1\choose3}\cdot{1\choose7}}_{\mbox{1ª Equipe}}\cdot\underbrace{{1\choose2}\cdot{1\choose6}}_{\mbox{2ª Equipe}}\cdot\underbrace{{1\choose1}\cdot{1\choose5}}_{\mbox{3ª Equipe}}\cdot\underbrace{\frac1{3!}}_{\mbox{Quebra de}\\\mbox{Repetições}}[/tex3]
E no fim, simplificando isso tudo:
[tex3]\underbrace{3\cdot7}_{\mbox{1ª Equipe}}\cdot\underbrace{2\cdot6}_{\mbox{2ª Equipe}}\cdot\underbrace{1\cdot5}_{\mbox{3ª Equipe}}\cdot\underbrace{\frac1{3!}}_{\mbox{Quebra de}\\\mbox{Repetições}}[/tex3]
[tex3]7\cdot6\cdot5\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}3\cdot2\cdot1\cdot\frac1{3!}}}=\boxed{7\cdot6\cdot5}[/tex3]
Combinação dos Restantes
Vamos supor que os remanescentes sejam [tex3]\{d,e,f,g\}[/tex3] , sem perda de generalidade. Nesse caso, para formas os dois times restante, de modo que não importe a ordem, temos que fazer o seguinte:
Vamos começar permutando os 4 elementos:
[tex3]4!~~\Longrightarrow~~\{f,d,e,g\}[/tex3]
Agora, vamos separar eles em dois times, os dois a esquerda são um time e os dois a direita, outro time:
[tex3]4!~~\Longrightarrow~~\{{\color{PineGreen}\boxed{f,d}},{\color{Purple}\boxed{e,g}}\}[/tex3]
Porém, como a ordem dos times não importam, veja que o cenário a baixo é a mesma coisa:
[tex3]4!~~\Longrightarrow~~\{{\color{PineGreen}\boxed{f,d}},{\color{Purple}\boxed{e,g}}\}~~=~~\{{\color{Purple}\boxed{e,g}},{\color{PineGreen}\boxed{f,d}}\}[/tex3]
Para evitar essa duplicidade, precisão dividir pelo número de células, nesse caso, duas células (dois times). Então:
[tex3]\frac{4!}{2!}~~\Longrightarrow~~\{\boxed{f,d},\boxed{e,g}\}[/tex3]
nota: como não há mais diferença na ordem dos times por tirarmos as repetições, eu tirei as cores
Isso faz com que não haja mais essa duplicidade. Porém, ainda existe uma duplicidade em cada célula, veja que os casos abaixo são iguais:
[tex3]\frac{4!}{2!}~~\Longrightarrow~~\{\boxed{f,d},\boxed{e,g}\}~~=~~\{\boxed{d,f},\boxed{e,g}\}[/tex3]
Para evitar essa duplicidade dentro da célula da esquerda, dividimos novamente por [tex3]2![/tex3] . Como essa mesma duplicidade acontece na célula da direita, então, dividimos novamente por [tex3]2![/tex3] . Como fazemos isso duas vezes, temos:
[tex3]\frac{4!}{2!2!2!}=3~~\Longrightarrow~~\{\boxed{f,d},\boxed{e,g}\},\{\boxed{f,e},\boxed{d,g}\},\{\boxed{f,g},\boxed{e,g}\}[/tex3]
nota: acima, estão as 3 combinações possíveis
Conclusão
Para a resposta, basta multiplicar tudo:
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{7\cdot6\cdot5\cdot3=630}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa C}[/tex3]
Última edição: LostWalker (Qui 30 Jun, 2022 13:24). Total de 4 vezes.
Razão: correções gramaticáis e ajustes
Razão: correções gramaticáis e ajustes
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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