Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial - Um recipiente tem a forma de uma pirâmide Tópico resolvido
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Jun 2022
24
22:39
Geometria Espacial - Um recipiente tem a forma de uma pirâmide
Um recipiente tem a forma de uma pirâmide regular de altura H base quadrada de lado a. Quando seu vértice está virado para baixo de modo que a altura da pirâmide esteja na posição vertical, o nível (h1) da água está em um quarto da altura do recipiente. Ao apoiarmos a base da pirâmide em uma superfície horizontal o nível da água é h2. A razão h2/h1 é
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Jun 2022
25
12:39
Re: Geometria Espacial - Um recipiente tem a forma de uma pirâmide
Proporção Linear e Volumétrica
Vamos partir de uma ideia simples antes de generalizar. Se pensarmos num cubo de lado [tex3]l[/tex3] , logo, o volume é [tex3]l^3[/tex3] , agora, vamos duplicar o valor do lado, [tex3]2l[/tex3] , então o volume passa para [tex3](2l)^3=8l^3[/tex3] . Pense agora em triplicar, [tex3]3l[/tex3] de lado corresponde a um volume de [tex3](3l)^3=27l^3[/tex3] .
Quando vamos verificar proporção entre uma dimensão linear e uma volumétrica, temos a correspondência:
[tex3]\frac{l_1}{l_2}=\sqrt[3]{\frac{V_1}{V_2}}~~~~\mbox{ou}~~~~\(\frac{l_1}{l_2}\)^3=\frac{V_1}{V_2}[/tex3]
Relação ao Volume do Líquido
Vamos primeiro definir 3 variáveis, a primeira, [tex3]h[/tex3] , que é altura total da pirâmide, [tex3]V[/tex3] , o volume total e [tex3]V_1[/tex3] que é o volume do líquido dentro da pirâmide. Assim, podemos usar a primeira informação dada no enunciado e afirma que:
[tex3]h_1=\frac14h~~\therefore~~\frac{h_1}h=\frac14[/tex3]
nota: todas as imagens serão em perfil, mas considere o objeto em 3d
Aplicando a relação dita, podemos ver como o volume se comporta:
[tex3]\(\frac{h_1}h\)^3=\(\frac14\)^3[/tex3]
[tex3]\frac{V_1}V=\frac1{64}[/tex3]
[tex3]\boxed{V_1=\frac1{64}\cdot V}[/tex3]
Volume do Líquido Invertido
Ao virarmos a pirâmide deixando-a com o vértice para cima, o líquido irá formar um tronco de pirâmide (e não mais uma pirâmide). Como a figura mudou, não temos mais como usar diretamente a relação anterior. Mas podemos pensar nela de outro modo.
Primeiramente, note que [tex3]h_2[/tex3] não corresponde à altura de uma pirâmide, e sim a altura de um tronco de pirâmide. Sendo assim não podemos usar nossa relação nisso, mas podemos definir uma nova altura [tex3]h_3[/tex3] , dito que:
Ou seja, [tex3]h_2+h_3=h~~\therefore~~h_2=h-h_3[/tex3]
Para calcular [tex3]h_3[/tex3] , vamos no basear nos volumes, veja que:
Ou seja, a relação de [tex3]h_3[/tex3] pode ser encontrar segundo:
[tex3]\(\frac{h_3}h\)^3=\frac{\frac{63}{64}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}V}}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}V}}[/tex3]
[tex3]\frac{h_3}h=\sqrt[3]{\frac{63}{64}}[/tex3]
[tex3]\boxed{h_3=\frac{\sqrt[3]{63}}4\cdot h}[/tex3]
Substituindo e Finalizando
Vamos tomar o valor de [tex3]h_3[/tex3] e encontrar [tex3]h_2[/tex3] :
[tex3]h_2=h-{\color{PineGreen}h_3}[/tex3]
[tex3]h_2=h-{\color{PineGreen}\frac{\sqrt[3]{63}}4\cdot h}[/tex3]
[tex3]h_2=\(1-\frac{\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
[tex3]h_2=\(\frac44-\frac{\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
[tex3]h_2=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
Daqui, veja que já podemos dividir tudo por [tex3]h_1[/tex3] , que temos:
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)\cdot\frac h{h_1}[/tex3]
E veja que nós temos já [tex3]\frac{h_1}h=\frac14~~\therefore~~\frac h{h_1}=4[/tex3] , substituindo isso:
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)\cdot{\color{Purple}\frac h{h_1}}[/tex3]
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}\)\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Purple}4}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\frac{h_2}{h_1}=4-\sqrt[3]{63}}[/tex3]
Vamos partir de uma ideia simples antes de generalizar. Se pensarmos num cubo de lado [tex3]l[/tex3] , logo, o volume é [tex3]l^3[/tex3] , agora, vamos duplicar o valor do lado, [tex3]2l[/tex3] , então o volume passa para [tex3](2l)^3=8l^3[/tex3] . Pense agora em triplicar, [tex3]3l[/tex3] de lado corresponde a um volume de [tex3](3l)^3=27l^3[/tex3] .
Quando vamos verificar proporção entre uma dimensão linear e uma volumétrica, temos a correspondência:
[tex3]\frac{l_1}{l_2}=\sqrt[3]{\frac{V_1}{V_2}}~~~~\mbox{ou}~~~~\(\frac{l_1}{l_2}\)^3=\frac{V_1}{V_2}[/tex3]
Relação ao Volume do Líquido
Vamos primeiro definir 3 variáveis, a primeira, [tex3]h[/tex3] , que é altura total da pirâmide, [tex3]V[/tex3] , o volume total e [tex3]V_1[/tex3] que é o volume do líquido dentro da pirâmide. Assim, podemos usar a primeira informação dada no enunciado e afirma que:
[tex3]h_1=\frac14h~~\therefore~~\frac{h_1}h=\frac14[/tex3]
nota: todas as imagens serão em perfil, mas considere o objeto em 3d
Aplicando a relação dita, podemos ver como o volume se comporta:
[tex3]\(\frac{h_1}h\)^3=\(\frac14\)^3[/tex3]
[tex3]\frac{V_1}V=\frac1{64}[/tex3]
[tex3]\boxed{V_1=\frac1{64}\cdot V}[/tex3]
Volume do Líquido Invertido
Ao virarmos a pirâmide deixando-a com o vértice para cima, o líquido irá formar um tronco de pirâmide (e não mais uma pirâmide). Como a figura mudou, não temos mais como usar diretamente a relação anterior. Mas podemos pensar nela de outro modo.
Primeiramente, note que [tex3]h_2[/tex3] não corresponde à altura de uma pirâmide, e sim a altura de um tronco de pirâmide. Sendo assim não podemos usar nossa relação nisso, mas podemos definir uma nova altura [tex3]h_3[/tex3] , dito que:
Ou seja, [tex3]h_2+h_3=h~~\therefore~~h_2=h-h_3[/tex3]
Para calcular [tex3]h_3[/tex3] , vamos no basear nos volumes, veja que:
Ou seja, a relação de [tex3]h_3[/tex3] pode ser encontrar segundo:
[tex3]\(\frac{h_3}h\)^3=\frac{\frac{63}{64}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}V}}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}V}}[/tex3]
[tex3]\frac{h_3}h=\sqrt[3]{\frac{63}{64}}[/tex3]
[tex3]\boxed{h_3=\frac{\sqrt[3]{63}}4\cdot h}[/tex3]
Substituindo e Finalizando
Vamos tomar o valor de [tex3]h_3[/tex3] e encontrar [tex3]h_2[/tex3] :
[tex3]h_2=h-{\color{PineGreen}h_3}[/tex3]
[tex3]h_2=h-{\color{PineGreen}\frac{\sqrt[3]{63}}4\cdot h}[/tex3]
[tex3]h_2=\(1-\frac{\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
[tex3]h_2=\(\frac44-\frac{\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
[tex3]h_2=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
Daqui, veja que já podemos dividir tudo por [tex3]h_1[/tex3] , que temos:
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)\cdot\frac h{h_1}[/tex3]
E veja que nós temos já [tex3]\frac{h_1}h=\frac14~~\therefore~~\frac h{h_1}=4[/tex3] , substituindo isso:
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)\cdot{\color{Purple}\frac h{h_1}}[/tex3]
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}\)\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Purple}4}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\frac{h_2}{h_1}=4-\sqrt[3]{63}}[/tex3]
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
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