Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial - Um recipiente tem a forma de uma pirâmide Tópico resolvido
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Geometria Espacial - Um recipiente tem a forma de uma pirâmide
Um recipiente tem a forma de uma pirâmide regular de altura H base quadrada de lado a. Quando seu vértice está virado para baixo de modo que a altura da pirâmide esteja na posição vertical, o nível (h1) da água está em um quarto da altura do recipiente. Ao apoiarmos a base da pirâmide em uma superfície horizontal o nível da água é h2. A razão h2/h1 é
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LostWalker 
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12:39
Re: Geometria Espacial - Um recipiente tem a forma de uma pirâmide
Proporção Linear e Volumétrica
Vamos partir de uma ideia simples antes de generalizar. Se pensarmos num cubo de lado [tex3]l[/tex3] , logo, o volume é [tex3]l^3[/tex3] , agora, vamos duplicar o valor do lado, [tex3]2l[/tex3] , então o volume passa para [tex3](2l)^3=8l^3[/tex3] . Pense agora em triplicar, [tex3]3l[/tex3] de lado corresponde a um volume de [tex3](3l)^3=27l^3[/tex3] .
Quando vamos verificar proporção entre uma dimensão linear e uma volumétrica, temos a correspondência:
[tex3]\frac{l_1}{l_2}=\sqrt[3]{\frac{V_1}{V_2}}~~~~\mbox{ou}~~~~\(\frac{l_1}{l_2}\)^3=\frac{V_1}{V_2}[/tex3]
Relação ao Volume do Líquido
Vamos primeiro definir 3 variáveis, a primeira, [tex3]h[/tex3] , que é altura total da pirâmide, [tex3]V[/tex3] , o volume total e [tex3]V_1[/tex3] que é o volume do líquido dentro da pirâmide. Assim, podemos usar a primeira informação dada no enunciado e afirma que:
[tex3]h_1=\frac14h~~\therefore~~\frac{h_1}h=\frac14[/tex3]
nota: todas as imagens serão em perfil, mas considere o objeto em 3d
Aplicando a relação dita, podemos ver como o volume se comporta:
[tex3]\(\frac{h_1}h\)^3=\(\frac14\)^3[/tex3]
[tex3]\frac{V_1}V=\frac1{64}[/tex3]
[tex3]\boxed{V_1=\frac1{64}\cdot V}[/tex3]
Volume do Líquido Invertido
Ao virarmos a pirâmide deixando-a com o vértice para cima, o líquido irá formar um tronco de pirâmide (e não mais uma pirâmide). Como a figura mudou, não temos mais como usar diretamente a relação anterior. Mas podemos pensar nela de outro modo.
Primeiramente, note que [tex3]h_2[/tex3] não corresponde à altura de uma pirâmide, e sim a altura de um tronco de pirâmide. Sendo assim não podemos usar nossa relação nisso, mas podemos definir uma nova altura [tex3]h_3[/tex3] , dito que:
Ou seja, [tex3]h_2+h_3=h~~\therefore~~h_2=h-h_3[/tex3]
Para calcular [tex3]h_3[/tex3] , vamos no basear nos volumes, veja que:
Ou seja, a relação de [tex3]h_3[/tex3] pode ser encontrar segundo:
[tex3]\(\frac{h_3}h\)^3=\frac{\frac{63}{64}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}V}}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}V}}[/tex3]
[tex3]\frac{h_3}h=\sqrt[3]{\frac{63}{64}}[/tex3]
[tex3]\boxed{h_3=\frac{\sqrt[3]{63}}4\cdot h}[/tex3]
Substituindo e Finalizando
Vamos tomar o valor de [tex3]h_3[/tex3] e encontrar [tex3]h_2[/tex3] :
[tex3]h_2=h-{\color{PineGreen}h_3}[/tex3]
[tex3]h_2=h-{\color{PineGreen}\frac{\sqrt[3]{63}}4\cdot h}[/tex3]
[tex3]h_2=\(1-\frac{\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
[tex3]h_2=\(\frac44-\frac{\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
[tex3]h_2=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
Daqui, veja que já podemos dividir tudo por [tex3]h_1[/tex3] , que temos:
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)\cdot\frac h{h_1}[/tex3]
E veja que nós temos já [tex3]\frac{h_1}h=\frac14~~\therefore~~\frac h{h_1}=4[/tex3] , substituindo isso:
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)\cdot{\color{Purple}\frac h{h_1}}[/tex3]
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}\)\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Purple}4}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\frac{h_2}{h_1}=4-\sqrt[3]{63}}[/tex3]
Vamos partir de uma ideia simples antes de generalizar. Se pensarmos num cubo de lado [tex3]l[/tex3] , logo, o volume é [tex3]l^3[/tex3] , agora, vamos duplicar o valor do lado, [tex3]2l[/tex3] , então o volume passa para [tex3](2l)^3=8l^3[/tex3] . Pense agora em triplicar, [tex3]3l[/tex3] de lado corresponde a um volume de [tex3](3l)^3=27l^3[/tex3] .
Quando vamos verificar proporção entre uma dimensão linear e uma volumétrica, temos a correspondência:
[tex3]\frac{l_1}{l_2}=\sqrt[3]{\frac{V_1}{V_2}}~~~~\mbox{ou}~~~~\(\frac{l_1}{l_2}\)^3=\frac{V_1}{V_2}[/tex3]
Relação ao Volume do Líquido
Vamos primeiro definir 3 variáveis, a primeira, [tex3]h[/tex3] , que é altura total da pirâmide, [tex3]V[/tex3] , o volume total e [tex3]V_1[/tex3] que é o volume do líquido dentro da pirâmide. Assim, podemos usar a primeira informação dada no enunciado e afirma que:
[tex3]h_1=\frac14h~~\therefore~~\frac{h_1}h=\frac14[/tex3]
- h1
- Pirâmide 1.png (9.15 KiB) Exibido 581 vezes
Aplicando a relação dita, podemos ver como o volume se comporta:
[tex3]\(\frac{h_1}h\)^3=\(\frac14\)^3[/tex3]
[tex3]\frac{V_1}V=\frac1{64}[/tex3]
[tex3]\boxed{V_1=\frac1{64}\cdot V}[/tex3]
- Volumes
- Pirâmide 2.png (10.29 KiB) Exibido 581 vezes
Volume do Líquido Invertido
Ao virarmos a pirâmide deixando-a com o vértice para cima, o líquido irá formar um tronco de pirâmide (e não mais uma pirâmide). Como a figura mudou, não temos mais como usar diretamente a relação anterior. Mas podemos pensar nela de outro modo.
Primeiramente, note que [tex3]h_2[/tex3] não corresponde à altura de uma pirâmide, e sim a altura de um tronco de pirâmide. Sendo assim não podemos usar nossa relação nisso, mas podemos definir uma nova altura [tex3]h_3[/tex3] , dito que:
- alturas invertidas
- Pirâmide 4.png (8.69 KiB) Exibido 581 vezes
Para calcular [tex3]h_3[/tex3] , vamos no basear nos volumes, veja que:
- Volumes invertidos
- Pirâmide 3.png (9.63 KiB) Exibido 581 vezes
Ou seja, a relação de [tex3]h_3[/tex3] pode ser encontrar segundo:
[tex3]\(\frac{h_3}h\)^3=\frac{\frac{63}{64}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}V}}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}V}}[/tex3]
[tex3]\frac{h_3}h=\sqrt[3]{\frac{63}{64}}[/tex3]
[tex3]\boxed{h_3=\frac{\sqrt[3]{63}}4\cdot h}[/tex3]
Substituindo e Finalizando
Vamos tomar o valor de [tex3]h_3[/tex3] e encontrar [tex3]h_2[/tex3] :
[tex3]h_2=h-{\color{PineGreen}h_3}[/tex3]
[tex3]h_2=h-{\color{PineGreen}\frac{\sqrt[3]{63}}4\cdot h}[/tex3]
[tex3]h_2=\(1-\frac{\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
[tex3]h_2=\(\frac44-\frac{\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
[tex3]h_2=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)h[/tex3]
Daqui, veja que já podemos dividir tudo por [tex3]h_1[/tex3] , que temos:
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)\cdot\frac h{h_1}[/tex3]
E veja que nós temos já [tex3]\frac{h_1}h=\frac14~~\therefore~~\frac h{h_1}=4[/tex3] , substituindo isso:
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}4\)\cdot{\color{Purple}\frac h{h_1}}[/tex3]
[tex3]\frac{h_2}{h_1}=\(\frac{4-\sqrt[3]{63}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}\)\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Purple}4}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\frac{h_2}{h_1}=4-\sqrt[3]{63}}[/tex3]
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
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