Ensino MédioNúmeros Complexos Tópico resolvido

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Números Complexos

Mensagem não lida por splinter.br »

O valor máximo de [tex3]\frac{|Z - i|}{|Z + i|}[/tex3] quando |Z|=3?

Última edição: splinter.br (Qua 06 Jun, 2007 10:08). Total de 1 vez.



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Alexandre_SC
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Re: Números Complexos

Mensagem não lida por Alexandre_SC »

note que o i é subtraido em cima e adicionado embaixo. logo a resposta é 2 com z = -3i. se encontrar uma maior me avise.

[tex3]\frac{|-3i-i|}{|-3i+i|} = \frac{|-4i|}{|-2i|} = \frac 4 2[/tex3]

Última edição: Alexandre_SC (Qua 06 Jun, 2007 13:20). Total de 1 vez.



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Re: Números Complexos

Mensagem não lida por splinter.br »

Eu não entendi a sua solução... Você pode explicar melhor?
Última edição: splinter.br (Qui 07 Jun, 2007 19:58). Total de 1 vez.



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Re: Números Complexos

Mensagem não lida por Alexandre_SC »

se |Z| = 3²
{im Z}² + {re Z}² = 3²

eu na verdade resolvi mentalmente e tenho certeza que voce pode fazelo tambem.
já ouviste falara na representação dos numeros complexos no plano cartesiano, se não me engano chamado de plano de Argand Gauss;

|Z| é uma equaçao de curcunferência com centro em 0
|Z-i| é uma equaçao de curcunferência com centro em -i
|Z+i| é uma equaçao de curcunferência com centro em i



Imagem

as distâncias verticais em verde claro são o valor de |Z|-|Z-i|
as distâncias verticais em verde escuro são o valor de |Z-i|-|Z|

as partes em azul claro são |Z+i|-|Z|
as partes em azul claro são |Z|-|Z+i|

nas partes claras |Z+i| é maiior que |Z-i| sendo ambos reais positivos gerando portanto valores positivos menores que 1 para a sua expressão.


nas partes escuras |Z+i| é menor que |Z-i| sendo ambos reais positivos gerando portanto valores positivos mmaiores que 1 para a sua expressão.

o valor máximo é justamente quendo Z está sobre o eixo dos imaginários e com valor imaginário necativo.
como a parte real é 0;


{im Z}² + {re Z}² = 3²

{im Z}² + {0}² = 3²

{im Z}² = 3²

note que im Z é apenas o coeficiente de i, B e não B*i
im Z = +3
e im Z = -3
são respectivamente os valores minimo e máximo;

Última edição: Alexandre_SC (Qui 14 Jun, 2007 14:41). Total de 1 vez.



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