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Resposta
(6 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] +4) cm
Ensino Médio ⇒ Circunferência trigonométrica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2022
27
18:16
Circunferência trigonométrica
Calcule a medida do lado [tex3]BC[/tex3]
do triângulo:
(6 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] +4) cm
(6 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] +4) cm
Jun 2022
27
20:30
Re: Circunferência trigonométrica
Acho que esse triângulo é impossível.
Última edição: AnthonyC (Seg 27 Jun, 2022 20:31). Total de 1 vez.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
Jul 2022
01
15:40
Re: Circunferência trigonométrica
Digamos que o ângulo interno no vértice [tex3]A[/tex3]
seja [tex3]\alpha[/tex3]
.
No vértice [tex3]B[/tex3] o ângulo é [tex3]\frac{\pi }{4}=45°[/tex3]
No vértice [tex3]C[/tex3] , é [tex3]\frac{\pi }{3}=60°[/tex3]
Soma dos ângulos internos [tex3]=180°[/tex3]
[tex3]\alpha +45°+60°=180°[/tex3]
[tex3]\alpha =75°[/tex3]
Vamos usar a Lei dos Senos. Antes disso, precisamos do valor de [tex3]sen(75° )[/tex3] :
[tex3]sen(x+y)=sen(x)*cos(y)+cos(x)*sen(y)[/tex3]
[tex3]sen(30°+45°)=sen(30°)*cos(45°)+cos(30°)*sen(45°)[/tex3]
[tex3]sen(75°)=\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]sen(75°)=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}[/tex3]
[tex3]sen(75°)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}[/tex3]
Agora sim, Lei dos Senos:
[tex3]\frac{AC}{sen(45°)}=\frac{BC}{sen(75°)}[/tex3]
[tex3]\frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}[/tex3]
[tex3]\frac{2*8}{\sqrt{2}}=\frac{4*BC}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}[/tex3]
Multiplicando "em cruz":
[tex3]\sqrt{2}*4*BC=16*(\sqrt{2}+\sqrt{6})[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}*BC=4(\sqrt{2}+\sqrt{6})[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}*BC=4\sqrt{2}+4\sqrt{6}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}*BC=4\sqrt{2}+4\sqrt{2*}\sqrt{3}[/tex3]
Todos os termos possuem [tex3]\sqrt{2}[/tex3] . Podemos cortá-lo
[tex3]BC=4+4\sqrt{3}[/tex3]
No vértice [tex3]B[/tex3] o ângulo é [tex3]\frac{\pi }{4}=45°[/tex3]
No vértice [tex3]C[/tex3] , é [tex3]\frac{\pi }{3}=60°[/tex3]
Soma dos ângulos internos [tex3]=180°[/tex3]
[tex3]\alpha +45°+60°=180°[/tex3]
[tex3]\alpha =75°[/tex3]
Vamos usar a Lei dos Senos. Antes disso, precisamos do valor de [tex3]sen(75° )[/tex3] :
[tex3]sen(x+y)=sen(x)*cos(y)+cos(x)*sen(y)[/tex3]
[tex3]sen(30°+45°)=sen(30°)*cos(45°)+cos(30°)*sen(45°)[/tex3]
[tex3]sen(75°)=\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]sen(75°)=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}[/tex3]
[tex3]sen(75°)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}[/tex3]
Agora sim, Lei dos Senos:
[tex3]\frac{AC}{sen(45°)}=\frac{BC}{sen(75°)}[/tex3]
[tex3]\frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}[/tex3]
[tex3]\frac{2*8}{\sqrt{2}}=\frac{4*BC}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}[/tex3]
Multiplicando "em cruz":
[tex3]\sqrt{2}*4*BC=16*(\sqrt{2}+\sqrt{6})[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}*BC=4(\sqrt{2}+\sqrt{6})[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}*BC=4\sqrt{2}+4\sqrt{6}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}*BC=4\sqrt{2}+4\sqrt{2*}\sqrt{3}[/tex3]
Todos os termos possuem [tex3]\sqrt{2}[/tex3] . Podemos cortá-lo
[tex3]BC=4+4\sqrt{3}[/tex3]
Jul 2022
01
15:47
Re: Circunferência trigonométrica
Não há como construir um triângulo com os lados e ângulos dados. Como a soma dos ângulos interno de um triângulo é [tex3]\pi[/tex3]
, então o ângulo em A somado com [tex3]{\pi\over3}[/tex3]
e [tex3]{\pi\over4}[/tex3]
é [tex3]\pi[/tex3]
e portanto, o ângulo em [tex3]A[/tex3]
é [tex3]\pi-{\pi\over3}-{\pi\over4}={5\pi\over 12}[/tex3]
. Portanto, o triângulo tem ângulos, em graus, de 45°, 60° e 75°. Porém, se você considerar o ângulo de 75° e montar um triângulo com lados 12 e 8, vai obter o triângulo abaixo:
Então não dá pra fazer o triângulo acima. Outro jeito de ver isso é por Lei dos senos. Ela diz que a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto a ele é igual pra qualquer um dos lados, porém no triângulo acima, temos [tex3]{12\over \sen\(\pi\over3\)}=8\sqrt{3}[/tex3]
e [tex3]{8\over\sen\(\pi\over 4\)}=8\sqrt2[/tex3]
. Portanto, [tex3]{12\over \sen\(\pi\over3\)}\neq{8\over\sen\(\pi\over 4\)}[/tex3]
. Como a lei dos senos é válida pra qualquer triângulo, então o triângulo acima não existe.
- Triangulo real.png (21.96 KiB) Exibido 521 vezes
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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