Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Harison** » 27 Jun 2022, 18:16 · Mensagem não lida por **Harison** » 27 Jun 2022, 18:16

Calcule a medida do lado [tex3]BC[/tex3] do triângulo:

: 20220622_103422.jpg (21.58 KiB) Exibido 611 vezes

Resposta

(6 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] +4) cm

Mensagem não lidapor **AnthonyC** » 27 Jun 2022, 20:30 · Mensagem não lida por **AnthonyC** » 27 Jun 2022, 20:30

Acho que esse triângulo é impossível.

Mensagem não lidapor **Harison** » 01 Jul 2022, 11:27 · Mensagem não lida por **Harison** » 01 Jul 2022, 11:27

Como assim??????????

zcoli · Mensagem não lida por **zcoli** » 01 Jul 2022, 15:40

Digamos que o ângulo interno no vértice [tex3]A[/tex3] seja [tex3]\alpha[/tex3] .
No vértice [tex3]B[/tex3] o ângulo é [tex3]\frac{\pi }{4}=45°[/tex3]
No vértice [tex3]C[/tex3] , é [tex3]\frac{\pi }{3}=60°[/tex3]

Soma dos ângulos internos [tex3]=180°[/tex3]
[tex3]\alpha +45°+60°=180°[/tex3]
[tex3]\alpha =75°[/tex3]

Vamos usar a Lei dos Senos. Antes disso, precisamos do valor de [tex3]sen(75° )[/tex3] :

[tex3]sen(x+y)=sen(x)*cos(y)+cos(x)*sen(y)[/tex3]
[tex3]sen(30°+45°)=sen(30°)*cos(45°)+cos(30°)*sen(45°)[/tex3]
[tex3]sen(75°)=\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]sen(75°)=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}[/tex3]
[tex3]sen(75°)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}[/tex3]

Agora sim, Lei dos Senos:

[tex3]\frac{AC}{sen(45°)}=\frac{BC}{sen(75°)}[/tex3]
[tex3]\frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}[/tex3]
[tex3]\frac{2*8}{\sqrt{2}}=\frac{4*BC}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}[/tex3]

Multiplicando "em cruz":

[tex3]\sqrt{2}*4*BC=16*(\sqrt{2}+\sqrt{6})[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}*BC=4(\sqrt{2}+\sqrt{6})[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}*BC=4\sqrt{2}+4\sqrt{6}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}*BC=4\sqrt{2}+4\sqrt{2*}\sqrt{3}[/tex3]

Todos os termos possuem [tex3]\sqrt{2}[/tex3] . Podemos cortá-lo

[tex3]BC=4+4\sqrt{3}[/tex3]

Mensagem não lidapor **AnthonyC** » 01 Jul 2022, 15:47 · Mensagem não lida por **AnthonyC** » 01 Jul 2022, 15:47

Não há como construir um triângulo com os lados e ângulos dados. Como a soma dos ângulos interno de um triângulo é [tex3]\pi[/tex3] , então o ângulo em A somado com [tex3]{\pi\over3}[/tex3] e [tex3]{\pi\over4}[/tex3] é [tex3]\pi[/tex3] e portanto, o ângulo em [tex3]A[/tex3] é [tex3]\pi-{\pi\over3}-{\pi\over4}={5\pi\over 12}[/tex3] . Portanto, o triângulo tem ângulos, em graus, de 45°, 60° e 75°. Porém, se você considerar o ângulo de 75° e montar um triângulo com lados 12 e 8, vai obter o triângulo abaixo:

: Triangulo real.png (21.96 KiB) Exibido 540 vezes

Então não dá pra fazer o triângulo acima. Outro jeito de ver isso é por Lei dos senos. Ela diz que a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto a ele é igual pra qualquer um dos lados, porém no triângulo acima, temos [tex3]{12\over \sen\(\pi\over3\)}=8\sqrt{3}[/tex3] e [tex3]{8\over\sen\(\pi\over 4\)}=8\sqrt2[/tex3] . Portanto, [tex3]{12\over \sen\(\pi\over3\)}\neq{8\over\sen\(\pi\over 4\)}[/tex3] . Como a lei dos senos é válida pra qualquer triângulo, então o triângulo acima não existe.

Mensagem não lidapor **Harison** » 01 Jul 2022, 16:26 · Mensagem não lida por **Harison** » 01 Jul 2022, 16:26

Vixi pd crê

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