Ensino Médio ⇒ Equações polinomiais/Relações de Girard Tópico resolvido

[Harison]

Cada uma das raízes da equação [tex3]4x⁴-20x³+33x²-20x+4=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4x⁴-20x³+33x²-20x+4=0[/tex3]

é um número real positivo e tem multiplicidade 2.Determine as raízes.

Resposta

---

{S}={[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

,2}

[marcosdrx]

4x⁴−20x³+33x²−20x+4=04x⁴−20x³+33x²−20x+4=0
[/quote

Vou ser bem direto, amigo:
[tex3](x-a)^2.(x-b)^2 =0[/tex3]

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[tex3](x-a)^2.(x-b)^2 =0[/tex3]

[tex3](x^2-2ax+a^2).(x^2-2bx+b^2)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x^2-2ax+a^2).(x^2-2bx+b^2)=0[/tex3]

[tex3]x^4-2bx^3+b^2x^2-2ax^3+4abx^2-2ab^2x+a^2x^2-2a^2bx+a^2b^2=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^4-2bx^3+b^2x^2-2ax^3+4abx^2-2ab^2x+a^2x^2-2a^2bx+a^2b^2=0[/tex3]

[tex3]x^4+(-2a-2b)x^3+(b^2+4ab+a^2)x^2+(-2ab^2-2a^2b)x+a^2b^2=0[/tex3]

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[tex3]x^4+(-2a-2b)x^3+(b^2+4ab+a^2)x^2+(-2ab^2-2a^2b)x+a^2b^2=0[/tex3]

[tex3](-2a-2b)=-5[/tex3]

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[tex3](-2a-2b)=-5[/tex3]

=> [tex3]a+b=5/2[/tex3]

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[tex3]a+b=5/2[/tex3]

[tex3](a^2b^2)=1[/tex3]

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[tex3](a^2b^2)=1[/tex3]

=>[tex3](ab)^2=1[/tex3]

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[tex3](ab)^2=1[/tex3]

=> [tex3]ab=1[/tex3]

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[tex3]ab=1[/tex3]

=> [tex3]a=1/b[/tex3]

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[tex3]a=1/b[/tex3]

Substituindo na primeira equação:
[tex3](1/b)+b=5/2[/tex3]

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[tex3](1/b)+b=5/2[/tex3]

[tex3](b^2+1)/b=5/2[/tex3]

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[tex3](b^2+1)/b=5/2[/tex3]

[tex3]2.(b^2+1)=5b[/tex3]

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[tex3]2.(b^2+1)=5b[/tex3]

[tex3]2b^2-5b+2=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2b^2-5b+2=0[/tex3]

Delta = [tex3]b^2-4ac = 25-4.2.2 = 25-16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^2-4ac = 25-4.2.2 = 25-16[/tex3]

=[tex3]9[/tex3]

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[tex3]9[/tex3]

b' = [tex3](5+3)/4 = 8/4 = 2[/tex3]

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[tex3](5+3)/4 = 8/4 = 2[/tex3]

b'' = [tex3](5-3)/4 = 2/4 = 1/2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](5-3)/4 = 2/4 = 1/2[/tex3]