Ensino Médio ⇒ (Geometria Analitica) reta tangente Tópico resolvido

[Epcar26]

A reta y= x + b é tangente à elipse 2x²+y²=2 . O valor de b é:
a)0
b)1 ou -1
c) 2 ou -2
d) [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

ou [tex3]-\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]-\sqrt{3}[/tex3]

e) n.r.a.

Resposta

---

e

[Jardani]

Derivando a equação da elipse temos:

[tex3]2x^{2}+y^{2}=2\Longrightarrow y=(2-2x^{2})^{\frac{1}{2}}\\\\
y´=\frac{1}{2}.(2-2x^{2})^{-\frac{1}{2}}.-4x\\\\
y´=(\frac{-2x}{\sqrt{2-2x^{2}}})[/tex3]

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[tex3]2x^{2}+y^{2}=2\Longrightarrow y=(2-2x^{2})^{\frac{1}{2}}\\\\
y´=\frac{1}{2}.(2-2x^{2})^{-\frac{1}{2}}.-4x\\\\
y´=(\frac{-2x}{\sqrt{2-2x^{2}}})[/tex3]

y´ é o coeficiente angular da reta tangente em função de um ponto x

Como o coeficiente da reta dada é 1, substituímos em y`.

[tex3]y´=(\frac{-2x}{\sqrt{2-2x^{2}}})=1\\\\
-2x=\sqrt{2-2x^{2}}\Longrightarrow \left( -2x \right)^{2}=\left( \sqrt{2-2x^{2}} \right)^{2}\\\\
4x^{2}=2-2x^{2}\Longrightarrow \boxed{x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}}[/tex3]

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[tex3]y´=(\frac{-2x}{\sqrt{2-2x^{2}}})=1\\\\
-2x=\sqrt{2-2x^{2}}\Longrightarrow \left( -2x \right)^{2}=\left( \sqrt{2-2x^{2}} \right)^{2}\\\\
4x^{2}=2-2x^{2}\Longrightarrow \boxed{x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}}[/tex3]

Para achar o y substitua o valor de x na equação da elipse.

[tex3]2x^{2}+y^{2}=2\Longrightarrow 2.(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}+y^{2}=2\\\\
y^{2}=2-\frac{6}{9}\Longrightarrow \boxed{y=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}}[/tex3]

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[tex3]2x^{2}+y^{2}=2\Longrightarrow 2.(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}+y^{2}=2\\\\
y^{2}=2-\frac{6}{9}\Longrightarrow \boxed{y=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}}[/tex3]

Para b então teremos 4 soluções.

[tex3]y=x+b\\\\
\left( \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{2} \right)\Longrightarrow b=-\frac{\sqrt{3}}{3}\\\\
\left( -\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{2} \right)\Longrightarrow b=\frac{\sqrt{3}}{3}\\\\
\left( -\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{2} \right)\Longrightarrow b=--\sqrt{3}\\\\
\left( \frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{2} \right)\Longrightarrow b=\sqrt{3}\\\\[/tex3]

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[tex3]y=x+b\\\\
\left( \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{2} \right)\Longrightarrow b=-\frac{\sqrt{3}}{3}\\\\
\left( -\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{2} \right)\Longrightarrow b=\frac{\sqrt{3}}{3}\\\\
\left( -\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{2} \right)\Longrightarrow b=--\sqrt{3}\\\\
\left( \frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{2} \right)\Longrightarrow b=\sqrt{3}\\\\[/tex3]

Mas duas delas não iram valer, para identificá-las faremos a seguinte análise:

Para [tex3]b=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]b=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

, o ponto [tex3](0,b)[/tex3]

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[tex3](0,b)[/tex3]

será interno à elipse:

[tex3]2x^{2}+y^{2}=2\\\\
2.(0)^{2}+\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^{2}=2\Longrightarrow \frac{1}{3}\lt 2[/tex3]

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[tex3]2x^{2}+y^{2}=2\\\\
2.(0)^{2}+\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^{2}=2\Longrightarrow \frac{1}{3}\lt 2[/tex3]

Sendo assim impossível traçar uma reta tangente a elipse por um ponto interno a ela. Portanto as soluções serão:

[tex3]\boxed{b=\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{b=\sqrt{3}}[/tex3]

ou [tex3]\boxed{b=-\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{b=-\sqrt{3}}[/tex3]

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Acredito que o gabarito esteja errado, graficamente temos:

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