Determine a área aproximada do paralelogramo determinado pelos vetores u = (2, -3, 3) e v = (-3, 0, 1) representada abaixo.
A) 27.55 u.a.
B) 15.07 u.a.
C) 25.07 u.a.
D) 14.53 u.a.
E) nenhuma das opções
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Grande abraço a todos,
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Ensino Médio ⇒ Tópicos de Álgebra Linear 2 Tópico resolvido
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Mar 2022
21
17:09
Re: Tópicos de Álgebra Linear 2
Ângulo entre Vetores
Sabemos que [tex3]\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos(\theta)[/tex3] , no mais, [tex3]\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}_i\cdot\vec{v}_i+\vec{u}_j\cdot\vec{v}_j+\vec{u}_k\cdot\vec{v}_k[/tex3] , com isso temos:
[tex3]|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos(\theta)=\vec{u}_i\cdot\vec{v}_i+\vec{u}_j\cdot\vec{v}_j+\vec{u}_k\cdot\vec{v}_k[/tex3]
[tex3]\sqrt{2^2+(-3)^2+3^2}\cdot\sqrt{(-3)^2+0^2+1^1}\cdot\cos(\theta)=2\cdot(-3)+(-3)\cdot0+3\cdot1[/tex3]
[tex3]\sqrt{22}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos(\theta)=-3[/tex3]
[tex3]2\sqrt{55}\cdot\cos(\theta)=-3[/tex3]
[tex3]\boxed{\cos(\theta)=\frac{3}{2\sqrt{55}}}[/tex3]
nota: o valor deu negativo, mas para efeito de conta, não será necessário.
Obtendo o Seno do Ângulo
Pelo nosso querido e amado Pitágoras:
[tex3]\cos^2(\theta)+sen^2(\theta)=1[/tex3]
[tex3]\frac{9}{220}+\sen^2(\theta)=1[/tex3]
[tex3]\boxed{\sen(\theta)=\frac{\sqrt{211}}{2\sqrt{55}}}[/tex3]
nota: numero feio que chama?
Área de um Paralelogramo
A melhor equação que temos é [tex3]A=a\cdot b\cdot\sen(\theta)[/tex3] , nesse caso, [tex3]a,b[/tex3] são os módulos dos vetores que já o calculamos, resultando em [tex3]2\sqrt{55}[/tex3] lá na primeira conta. Chegamos então em:
[tex3]A=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\sen(\theta)[/tex3]
[tex3]A={\color{Red}\cancel{\color{Black}2\sqrt{55}}}\cdot\frac{\sqrt{211}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}2\sqrt{55}}}[/tex3]
[tex3]A=\sqrt{211}[/tex3]
nota: e com uma boa e velha calculadora temos
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{A\approx14.53\,\mbox{u.a.}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa D}[/tex3]
Sabemos que [tex3]\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos(\theta)[/tex3] , no mais, [tex3]\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}_i\cdot\vec{v}_i+\vec{u}_j\cdot\vec{v}_j+\vec{u}_k\cdot\vec{v}_k[/tex3] , com isso temos:
[tex3]|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos(\theta)=\vec{u}_i\cdot\vec{v}_i+\vec{u}_j\cdot\vec{v}_j+\vec{u}_k\cdot\vec{v}_k[/tex3]
[tex3]\sqrt{2^2+(-3)^2+3^2}\cdot\sqrt{(-3)^2+0^2+1^1}\cdot\cos(\theta)=2\cdot(-3)+(-3)\cdot0+3\cdot1[/tex3]
[tex3]\sqrt{22}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos(\theta)=-3[/tex3]
[tex3]2\sqrt{55}\cdot\cos(\theta)=-3[/tex3]
[tex3]\boxed{\cos(\theta)=\frac{3}{2\sqrt{55}}}[/tex3]
nota: o valor deu negativo, mas para efeito de conta, não será necessário.
Obtendo o Seno do Ângulo
Pelo nosso querido e amado Pitágoras:
[tex3]\cos^2(\theta)+sen^2(\theta)=1[/tex3]
[tex3]\frac{9}{220}+\sen^2(\theta)=1[/tex3]
[tex3]\boxed{\sen(\theta)=\frac{\sqrt{211}}{2\sqrt{55}}}[/tex3]
nota: numero feio que chama?
Área de um Paralelogramo
A melhor equação que temos é [tex3]A=a\cdot b\cdot\sen(\theta)[/tex3] , nesse caso, [tex3]a,b[/tex3] são os módulos dos vetores que já o calculamos, resultando em [tex3]2\sqrt{55}[/tex3] lá na primeira conta. Chegamos então em:
[tex3]A=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\sen(\theta)[/tex3]
[tex3]A={\color{Red}\cancel{\color{Black}2\sqrt{55}}}\cdot\frac{\sqrt{211}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}2\sqrt{55}}}[/tex3]
[tex3]A=\sqrt{211}[/tex3]
nota: e com uma boa e velha calculadora temos
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{A\approx14.53\,\mbox{u.a.}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa D}[/tex3]
Editado pela última vez por LostWalker em 21 Mar 2022, 17:09, em um total de 1 vez.
Razão: correções gramaticáis e ajustes
Razão: correções gramaticáis e ajustes
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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