Ensino Médio ⇒ Demonstração 29. Tópico resolvido

[geobson]

Dada a figura abaixo, demonstre que ×=90°.

[FelipeMartin]

ah, falta informação. Constrói no geogebra que você vai ver.

[geobson]

ah, falta informação. Constrói no geogebra que você vai ver.

Será que se os círculos fossem ortogonais?

[FelipeMartin]

geobson, ai parece que é verdade. Minha dica pra você é: construa o círculo que passa pelo vértice do ângulo X e pelos pontos no extremo de algum dos dois segmentos secantes aos dois círculos.

[geobson]

FelipeMartin, ou provar que um daqueles segmentos é diâmetro...

[FelipeMartin]

geobson, sim! Acho que se você provar esse exercício que você encontrou (você encontra as coisas muito rápido na internet), você consegue provar que é diâmetro só preenchendo os ângulos (e usando a ortogonalidade; sem ela, a coisa não funciona).

[FelipeMartin]

Nossa, dá pra fazer por roto-homotetia, como responderam no gogeometry.

O ponto [tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

é claramente o centro da roto-homotetia que leva [tex3]D_1 \rightarrow D_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D_1 \rightarrow D_2[/tex3]

e [tex3]C_1 \rightarrow C_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_1 \rightarrow C_2[/tex3]

.

Como a roto-homotetia transforma círculos em círculos, e mantém o centro ([tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

no caso) fixado; o círculo azul é transformado no vermelho.
Como os círculos são ortogonais, [tex3]\angle O_1BO_2 = 90^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle O_1BO_2 = 90^{\circ}[/tex3]

é o ângulo de rotação da nossa querida roto-homotetia, então, [tex3]\angle C_1BC_2 = 90^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle C_1BC_2 = 90^{\circ}[/tex3]

.

Agora é mostrar que o quadrilátero [tex3]C_1BC_2F[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_1BC_2F[/tex3]

é cíclico:

o ângulo externo em [tex3]F[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F[/tex3]

é:

[tex3]\angle FC_1C_2 + \angle FC_2C_1 = \angle D_1BA + \angle D_2BA = (\angle C_1BA + \angle C_1BD_1) + (\angle C_2BA - \angle D_2BC_2)= [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle FC_1C_2 + \angle FC_2C_1 = \angle D_1BA + \angle D_2BA = (\angle C_1BA + \angle C_1BD_1) + (\angle C_2BA - \angle D_2BC_2)= [/tex3]

[tex3]= [\angle C_1BA + \angle C_2BA] + (\angle C_1BD_1 - \angle D_2BC_2) = [\angle C_1BC_2] + \cancelto{0}{(\angle C_1AD_1 - \angle D_2AC_2)} = \angle C_1BC_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]= [\angle C_1BA + \angle C_2BA] + (\angle C_1BD_1 - \angle D_2BC_2) = [\angle C_1BC_2] + \cancelto{0}{(\angle C_1AD_1 - \angle D_2AC_2)} = \angle C_1BC_2[/tex3]

[geobson]

Muito interessante este assunto. E pouco explorado ...

[geobson]

Outra condição ( restrinção) para que se tenha x=90°, seria....

[geobson]

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