Dados três círculos [tex3]\gamma_A,\gamma_B[/tex3]
De forma equivalente, dado um [tex3]\triangle ABC[/tex3]
cujo incírculo seja [tex3]\omega[/tex3]
e [tex3]D = \omega \cap BC, E = \omega \cap AC[/tex3]
e [tex3]F = \omega \cap AB[/tex3]
, os círculos de Soddy do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
são os dois círculos simultaneamente tangentes a [tex3]\gamma_A = \odot (A,AF),\gamma_B = \odot (B,BD)[/tex3]
e [tex3]\gamma_C = \odot (C,CE)[/tex3]
.
Construção: Seja [tex3]K = EF \cap CB[/tex3]
e sejam [tex3]\{X_1, X_2 \} = \odot (K,KD) \cap \gamma_A[/tex3]
.
Seja [tex3]L = ED \cap AB[/tex3]
e sejam [tex3]\{Z_1,Z_2\} = \odot (L,LF) \cap \gamma_C[/tex3]
.
Sendo [tex3]o_1 = AX_1 \cap CZ_1[/tex3]
, o primeiro círculo de Soddy é [tex3]S_1 = \odot(o_1,o_1X_1)[/tex3]
Sendo [tex3]o_2 = AX_2 \cap CZ_2[/tex3]
, o segundo círculo de Soddy é [tex3]S_2 = \odot(o_2,o_2X_2)[/tex3]
Prova: As retas [tex3]AD,BE[/tex3]
e [tex3]CF[/tex3]
concorrem no ponto de Gergonne do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
. Podemos enxergar o quadrilátero [tex3]BCEF[/tex3]
à luz do item 1 da página de razão anarmônica 2 como se ele fosse o [tex3]ADPS[/tex3]
, de forma que [tex3]\mathcal H (K,D;B,C)[/tex3]
.
Veja porém que o [tex3]\triangle Bo_1C[/tex3]
é tal que seu incírculo tangencia necessariamente os lados [tex3]o_1C[/tex3]
em [tex3]Z_1[/tex3]
, [tex3]o_1B[/tex3]
em [tex3]Y_1 = S_1 \cap \gamma_B[/tex3]
e [tex3]BC[/tex3]
em [tex3]D[/tex3]
. Analogamente, podemos usar o ponto de Gergonne do [tex3]\triangle Bo_1C[/tex3]
para inferir que a reta [tex3]Z_1Y_1[/tex3]
passa por [tex3]K[/tex3]
, o conjugado harmônico de [tex3]D[/tex3]
em relação a [tex3]BC[/tex3]
, como feito acima.
Por fim: veja que o círculo [tex3]\Omega_A = \odot (K,KD)[/tex3]
é ortogonal ao incírculo [tex3]\omega[/tex3]
do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
pois seu centro [tex3]K[/tex3]
está sobre a reta tangente a [tex3]\omega[/tex3]
em [tex3]D[/tex3]
. Como [tex3]K \in EF[/tex3]
e [tex3]EF[/tex3]
é o eixo radical entre [tex3]\omega[/tex3]
e [tex3]\gamma_A[/tex3]
, então, [tex3]\Omega_A[/tex3]
é necessariamente ortogonal a [tex3]\gamma_A[/tex3]
. Logo, o ponto [tex3]X_1[/tex3]
está sobre uma reta tangente a [tex3]\gamma_A[/tex3]
pelo ponto [tex3]K[/tex3]
. Analogamente, [tex3]\Omega_A[/tex3]
é ortogonal ao incírculo do [tex3]\triangle Bo_1C[/tex3]
e a [tex3]S_1[/tex3]
. Mas como [tex3]S_1[/tex3]
é tangente a [tex3]\gamma_A[/tex3]
, o eixo radical entre ambos é a reta tangente comum pelo ponto de contato, a qual deverá passar por [tex3]K[/tex3]
, logo, deve ser a reta [tex3]KX_1[/tex3]
, portanto [tex3]X_1 = S_1 \cap \gamma_A[/tex3]
.
Creio que o resto da construção seja trivial.
Os raios dos círculos de Soddy são dados pelo teorema de Descartes
e [tex3]\gamma_C[/tex3]
tangentes exteriormente entre si dois a dois. Chamam-se círculos de Soddy os círculos tangentes simultaneamente a [tex3]\gamma_A, \gamma_B[/tex3]
e [tex3]\gamma_C[/tex3]
.Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ Construção Círculos de Soddy
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Mar 2022
11
09:46
Construção Círculos de Soddy
Editado pela última vez por FelipeMartin em 11 Mar 2022, 09:49, em um total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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