8 - O quadrilátero ABCD se encontra circunscrito
a uma circunferência de raio R. Se sabe que ADB = 90o e
a distância entre os centros das circunferências inscritas
nos triângulos ADB e BCD é 6. Calcular R.
Resposta
D) 5[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
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Solucionário:Racso - Cap IX - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:08
Problema Proposto
8 - O quadrilátero ABCD se encontra circunscrito
a uma circunferência de raio R. Se sabe que ADB = 90o e
a distância entre os centros das circunferências inscritas
nos triângulos ADB e BCD é 6. Calcular R.
D) 5[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
8 - O quadrilátero ABCD se encontra circunscrito
a uma circunferência de raio R. Se sabe que ADB = 90o e
a distância entre os centros das circunferências inscritas
nos triângulos ADB e BCD é 6. Calcular R.
D) 5[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
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Re: Solucionário:Racso - Cap IX - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:08
Meus problemas com o enunciado
Essa questão conseguiu. Tirou meu sono, tirou minha paciência, muita coisa. Errei o desenho duas vezes o que me tomou muito tempo. Anyway, depois de um tempo eu recriei o desenho no Geogebra de forma articulável. Posso colocar o link aqui? Não sei. Posso dizer que se você entrar no Geogebra, pesquisar por "Solucionário:Racso - Cap IX - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:08" (sem as aspas) e o único item encontrado é meu arquivo (autor: lostwalker)? Não sei. Então vou falar nada.
De todo modo, eu recriei o desenho usando a informação do ângulo e o gab. Entretanto, ao recriar o desenho, existem mais duas variáveis, sendo elas: a distancia do ponto [tex3]O[/tex3] a reta [tex3]\overline{BD}[/tex3] e a distância de [tex3]B[/tex3] à projeção do ponto [tex3]O[/tex3] na reta [tex3]\overline{BD}[/tex3] . Essas variáveis modificam [tex3]\overline{EF}[/tex3], impossibilitando uma resposta sem dados para elas.
Vendo pelo meu desenho, que utiliza um [tex3]P[/tex3] , podemos dizer que as variáveis são comprimento de [tex3]\overline{OP}[/tex3] e de [tex3]\overline{PB}[/tex3] .
Talvez, só talvez, se tivemos [tex3]\boxed{\alpha=\arctan\(\frac{\overline{PO}}{\overline{PB}}\)}[/tex3] , isso poderia fixar a distância [tex3]\overline{EF}[/tex3] e assim poderíamos encontrar algum valor. Eu vou testar isso? Não, minhas 3 folhas de rascunho sobre esse exercício agradecem.
Não sendo apenas isso, mas articulando o desenho, você descobre outra informação "magnifica", [tex3]\boxed{\overline{EF}> R}[/tex3] ou seja, nem para o gab esse desenho é válido. O que, digamos, é aceitável o gab estar errado, acontece, mas é outro ponto que parece faltar informações na figura, já diferentes [tex3]\overline{EF}[/tex3] até o momento, depende de duas variáveis não dadas.
Posicionando os pontos
Como a pessoa confiante que sou, tudo o que eu fiz pode estar errado (eu errei o desenho duas e insisti dada as informações do enunciado, não seria novidade), mas eu posso no mínimo dar meus, se alguém achar algo errado, é um passo na direção da resolução.
A primeira informação é que [tex3]\angle ADB=90^\circ[/tex3] . Sendo [tex3]A'[/tex3] a interseção da reta [tex3]\overline{AD}[/tex3] com a circunferência de raio [tex3]R[/tex3] , sabemos que [tex3]\overline{AA'}<\overline{AD}[/tex3] . Logo, sendo [tex3]O[/tex3] centro do circunscrito, temos:
[tex3]\overline{A'O}\,/\!/\,\overline{DB}[/tex3]
Tendo as distâncias [tex3]\overline{AA'}[/tex3] e [tex3]\overline{DA'}[/tex3] relacionadas à [tex3]R[/tex3] , os pontos [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] são inseridos naturalmente. Temos algo assim:
Definindo a distância entre os círculos inscritos dos triângulos
Sabemos que dos centros das circunferências inscritas dos triângulos fazem um ângulo reto com [tex3]\overline{DB}[/tex3] por definição. Eu não estou afim de fazer um desenho todo novo, então vamos de imaginação. Tome que [tex3]P_1[/tex3] e [tex3]P_2[/tex3] é a projeção dos centros das esferas maior e menor respectivamente, de modo que, as distância sejam denominadas assim na reta [tex3]\overline{DB}[/tex3] :
[tex3]\begin{matrix}D&\leftarrow y\rightarrow&P_1&\leftarrow s\rightarrow&P_2&\leftarrow w\rightarrow&B\end{matrix}[/tex3]
Criando mais umas variáveis aleatórias para preencher tudo, temos:
Porém, como dito, esse quadrilátero é circunscrito, logo, a soma dos lados opostos são iguais, com isso teríamos:
[tex3]w+x+y+z=w+x+y+z+{\color{Red}2p}\\\boxed{p=0}[/tex3]
Isso significa que as projeções dos centros dos triângulos coincidem, logo, a distância dos centro é [tex3]r_1+r_2=6[/tex3] .
Duas variáveis
Meu desenho no Geogebra está articulável em [tex3]P[/tex3] e [tex3]B[/tex3] respeitando um raio fixo e o ângulo de reto, como disse no início, pode conferir. Ele reforça que, mesmo obedecendo o enunciado, os valores não são únicos, até o momento, acredito que não haja uma resolução para tal exercício.
Tirando isso, se mais informações nos fosse acrescentada, provavelmente responderíamos dizendo que [tex3]\boxed{r_1\cdot p_1+r_2\cdot p_2=R\cdot p}[/tex3] , sendo [tex3]p[/tex3] os semi-perímetros dos triângulos correspondentes.
Essa questão conseguiu. Tirou meu sono, tirou minha paciência, muita coisa. Errei o desenho duas vezes o que me tomou muito tempo. Anyway, depois de um tempo eu recriei o desenho no Geogebra de forma articulável. Posso colocar o link aqui? Não sei. Posso dizer que se você entrar no Geogebra, pesquisar por "Solucionário:Racso - Cap IX - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:08" (sem as aspas) e o único item encontrado é meu arquivo (autor: lostwalker)? Não sei. Então vou falar nada.
De todo modo, eu recriei o desenho usando a informação do ângulo e o gab. Entretanto, ao recriar o desenho, existem mais duas variáveis, sendo elas: a distancia do ponto [tex3]O[/tex3] a reta [tex3]\overline{BD}[/tex3] e a distância de [tex3]B[/tex3] à projeção do ponto [tex3]O[/tex3] na reta [tex3]\overline{BD}[/tex3] . Essas variáveis modificam [tex3]\overline{EF}[/tex3], impossibilitando uma resposta sem dados para elas.
Vendo pelo meu desenho, que utiliza um [tex3]P[/tex3] , podemos dizer que as variáveis são comprimento de [tex3]\overline{OP}[/tex3] e de [tex3]\overline{PB}[/tex3] .
- Ex 8 - 1.png (30.35 KiB) Exibido 490 vezes
Talvez, só talvez, se tivemos [tex3]\boxed{\alpha=\arctan\(\frac{\overline{PO}}{\overline{PB}}\)}[/tex3] , isso poderia fixar a distância [tex3]\overline{EF}[/tex3] e assim poderíamos encontrar algum valor. Eu vou testar isso? Não, minhas 3 folhas de rascunho sobre esse exercício agradecem.
Não sendo apenas isso, mas articulando o desenho, você descobre outra informação "magnifica", [tex3]\boxed{\overline{EF}> R}[/tex3] ou seja, nem para o gab esse desenho é válido. O que, digamos, é aceitável o gab estar errado, acontece, mas é outro ponto que parece faltar informações na figura, já diferentes [tex3]\overline{EF}[/tex3] até o momento, depende de duas variáveis não dadas.
Posicionando os pontos
Como a pessoa confiante que sou, tudo o que eu fiz pode estar errado (eu errei o desenho duas e insisti dada as informações do enunciado, não seria novidade), mas eu posso no mínimo dar meus, se alguém achar algo errado, é um passo na direção da resolução.
A primeira informação é que [tex3]\angle ADB=90^\circ[/tex3] . Sendo [tex3]A'[/tex3] a interseção da reta [tex3]\overline{AD}[/tex3] com a circunferência de raio [tex3]R[/tex3] , sabemos que [tex3]\overline{AA'}<\overline{AD}[/tex3] . Logo, sendo [tex3]O[/tex3] centro do circunscrito, temos:
[tex3]\overline{A'O}\,/\!/\,\overline{DB}[/tex3]
Tendo as distâncias [tex3]\overline{AA'}[/tex3] e [tex3]\overline{DA'}[/tex3] relacionadas à [tex3]R[/tex3] , os pontos [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] são inseridos naturalmente. Temos algo assim:
- Ex 8 - 2.png (24.41 KiB) Exibido 490 vezes
Definindo a distância entre os círculos inscritos dos triângulos
Sabemos que dos centros das circunferências inscritas dos triângulos fazem um ângulo reto com [tex3]\overline{DB}[/tex3] por definição. Eu não estou afim de fazer um desenho todo novo, então vamos de imaginação. Tome que [tex3]P_1[/tex3] e [tex3]P_2[/tex3] é a projeção dos centros das esferas maior e menor respectivamente, de modo que, as distância sejam denominadas assim na reta [tex3]\overline{DB}[/tex3] :
[tex3]\begin{matrix}D&\leftarrow y\rightarrow&P_1&\leftarrow s\rightarrow&P_2&\leftarrow w\rightarrow&B\end{matrix}[/tex3]
Criando mais umas variáveis aleatórias para preencher tudo, temos:
- Ex 8 - 3.png (28.88 KiB) Exibido 490 vezes
Porém, como dito, esse quadrilátero é circunscrito, logo, a soma dos lados opostos são iguais, com isso teríamos:
[tex3]w+x+y+z=w+x+y+z+{\color{Red}2p}\\\boxed{p=0}[/tex3]
Isso significa que as projeções dos centros dos triângulos coincidem, logo, a distância dos centro é [tex3]r_1+r_2=6[/tex3] .
Duas variáveis
Meu desenho no Geogebra está articulável em [tex3]P[/tex3] e [tex3]B[/tex3] respeitando um raio fixo e o ângulo de reto, como disse no início, pode conferir. Ele reforça que, mesmo obedecendo o enunciado, os valores não são únicos, até o momento, acredito que não haja uma resolução para tal exercício.
Tirando isso, se mais informações nos fosse acrescentada, provavelmente responderíamos dizendo que [tex3]\boxed{r_1\cdot p_1+r_2\cdot p_2=R\cdot p}[/tex3] , sendo [tex3]p[/tex3] os semi-perímetros dos triângulos correspondentes.
Última edição: LostWalker (Qua 26 Jan, 2022 23:42). Total de 1 vez.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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