Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:34 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
34 - O triángulo ABC é equilátero de lado
2[tex3]\sqrt{6}[/tex3], m, onde M, N e Q são centros e H é
ortocentro. Calcular a área da região sombreada.

Resposta

---

A) [tex3]\pi [/tex3]m²

[petras]

01) AQ=[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{6}[/tex3]

;
02) Como os semicírculos são congruentes, o triângulo RST é equilátero;
03) Em consequência de (02), o triângulo RHQ é equilátero, AR=RQ=QH=HR e os triângulos APR e QPR possuem ângulos 30°, 60°, 90°.
Deste modo, temos: AQ=PQ=[tex3]\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex3]

,AR=RQ=QH=HR=[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Desta maneira, tem-se que: [tex3]S△QRH=\frac{\sqrt3}{2}, Sset(RQH)=\frac{π}{3}[/tex3]

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[tex3]S△QRH=\frac{\sqrt3}{2}, Sset(RQH)=\frac{π}{3}[/tex3]

[tex3]Sseg(RH)=\frac{π}{3}−\frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

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[tex3]Sseg(RH)=\frac{π}{3}−\frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

Temos também: [tex3]S△RPQ=\frac{\sqrt3}{4}\\ Sset(RVP)=\frac{π}{6}\\
\therefore SRAV=\frac{\sqrt3}{2}−\frac{π}{6}\\
S=6(\frac{\sqrt3}{2}−\frac{π}{6})+6(\frac{π}{3}−\frac{\sqrt3}{2})=\boxed{\color{red}π}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S△RPQ=\frac{\sqrt3}{4}\\ Sset(RVP)=\frac{π}{6}\\
\therefore SRAV=\frac{\sqrt3}{2}−\frac{π}{6}\\
S=6(\frac{\sqrt3}{2}−\frac{π}{6})+6(\frac{π}{3}−\frac{\sqrt3}{2})=\boxed{\color{red}π}[/tex3]

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