Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:30 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
30 - Na figura mostrada; calcular a relacão de áreas, das regiões sombreadas.
ABCD é um quadrado.

Resposta

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Não há alterantiva correta (Resposta errada do livro: C) 3+2[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[petras]

Lado do quadrado "l"
Raio da circunferência menor "r"
Ponto de tangência da circunferência menor com a diagonal do AC do quadrado "P"
Centro da circunferência menor: "O"
Área sombreada menor : S1
Área sombreada maior : S2
Por propriedades de tangência, o vértice C do quadrado está a uma igual distância do vértice D e do ponto P. Logo:
[tex3]CP=l\\AP=l\sqrt2−l=l(\sqrt2−1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CP=l\\AP=l\sqrt2−l=l(\sqrt2−1)[/tex3]

Ligando o centro da circunferência menor com o ponto de tangencia desta com a diagonal do quadrado, temos um triângulo retângulo isósceles ΔAPO de onde podemos tirar a seguinte relação:
[tex3]r=l(\sqrt2−1)r^2\\
r^2=l^2(3−2\sqrt2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r=l(\sqrt2−1)r^2\\
r^2=l^2(3−2\sqrt2)[/tex3]

Cálculo de S1
S1 vai ser dado pela área do triângulo retângulo isósceles menos a área do setor circular de 45º (ângulo do triângulo isósceles). Logo, temos:
[tex3]S1=(\frac{r^2}{2})−(\frac{\pi r^2}{8})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S1=(\frac{r^2}{2})−(\frac{\pi r^2}{8})[/tex3]

Cálculo de S2
S2 vai ser dado pela área do triângulo ΔCPD + a área do triângulo ΔOPD - a área do setor circular de 135º (suplementar do de 45º). Logo:

[tex3]S2=(\frac{l^2sen45º}{2})+(\frac{r^2sen135º}{2})−(\frac{3πr^2}{8})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S2=(\frac{l^2sen45º}{2})+(\frac{r^2sen135º}{2})−(\frac{3πr^2}{8})[/tex3]

[tex3]\therefore \frac{S2}{S1} = \frac{(\frac{3πr^2}{8})}{(\frac{r^2}{2}−\frac{\pi r^2}{8})}=\\
\boxed{\color{red}\frac{3\pi}{4-\pi}}


[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore \frac{S2}{S1} = \frac{(\frac{3πr^2}{8})}{(\frac{r^2}{2}−\frac{\pi r^2}{8})}=\\
\boxed{\color{red}\frac{3\pi}{4-\pi}}


[/tex3]

(Solução: Jvrextrue13 - viewtopic.php?f=4&t=89422&p=246427&hili ... do#p246427)