Questões Perdidas ⇒ Solucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:29 Tópico resolvido

[petras]

Problema Proposto
29 - Calcular a área da região sombreada; se: [tex3]\overset{\LARGE{\frown}}{AE} =3 \angle BCD[/tex3];
ED = DC = 1m.

Resposta

---

[tex3]\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]

[FelipeMartin]

Seja [tex3]x = \angle ACE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \angle ACE[/tex3]

, então [tex3]\angle EOA = 3x \implies \angle OEC = 3x-x=2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle EOA = 3x \implies \angle OEC = 3x-x=2x[/tex3]

como [tex3]\triangle EOD[/tex3]

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[tex3]\triangle EOD[/tex3]

é isósceles, então [tex3]\angle EDO = 2x \implies \angle EOD = 180^{\circ} - 4x \implies \angle DOC = x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle EDO = 2x \implies \angle EOD = 180^{\circ} - 4x \implies \angle DOC = x[/tex3]

.

Pronto: [tex3]\triangle DOC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle DOC[/tex3]

é [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

isósceles, logo [tex3]DE=DO=DC[/tex3]

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[tex3]DE=DO=DC[/tex3]

. Então [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

está no círculo de diâmetro [tex3]EC[/tex3]

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[tex3]EC[/tex3]

, portanto, [tex3]\angle EOC = 90^{\circ}[/tex3]

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[tex3]\angle EOC = 90^{\circ}[/tex3]

. O triângulo [tex3]EOD[/tex3]

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[tex3]EOD[/tex3]

é equilátero, então a área pedida é:

[tex3]S = \frac{\pi}3 \cdot \frac{1^2}2 - \frac{\sqrt3}4 = \frac{\pi}6 - \frac{\sqrt3}4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \frac{\pi}3 \cdot \frac{1^2}2 - \frac{\sqrt3}4 = \frac{\pi}6 - \frac{\sqrt3}4[/tex3]