Ensino MédioTrigonometria Tópico resolvido

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botelho
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Jan 2022 17 10:59

Trigonometria

Mensagem não lida por botelho »

Em um triângulo ABC, tem-se [tex3]\frac{cosA}{a} + \frac{cosB}{b} + \frac{cosC}{c} = \frac{c}{ab} [/tex3] .Determine o equivalente de CosA + CosB + CosC.
a)[tex3]\sqrt{2}[/tex3] sen(A+45°)
b)[tex3]\sqrt{2}[/tex3] cos(A+45°)
c)[tex3]\sqrt{2}[/tex3] senA
d)[tex3]\sqrt{2}[/tex3] cosA
e)tanA
Resposta

a




goncalves3718
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Jan 2022 17 19:21

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Olá botelho, a lei dos cossenos diz que em um triângulo de lados [tex3]a,b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] :

[tex3]a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cdot \cos \hat{A} \implies \cos \hat{A} =\dfrac{a^2-b^2-c^2}{-2bc} \implies \cos \hat{A} = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex3]

Analogamente:

[tex3]\cos \hat{B} = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/tex3] e [tex3]\cos \hat{C} = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}[/tex3]

Substituindo na expressão:

[tex3]\dfrac{\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}{a} + \dfrac{\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)}{b} + \dfrac{\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)}{c} = \dfrac{c}{ab} \implies \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc} + \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc} = \dfrac{2c^2}{2abc} [/tex3]

Logo:

[tex3]\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc} = \dfrac{2c^2}{2abc} \implies a^2+b^2+c^2 = 2c^2 \implies a^2+b^2 = c^2[/tex3] (Teprema de Pitágoras)

Daí, concluímos que [tex3]\hat{C}= 90º[/tex3] e, portanto,[tex3]\hat{A} + \hat{B} = 90°[/tex3]
Como os ângulos [tex3]\hat{A}[/tex3] e [tex3]\hat{B}[/tex3] são complementares, podemos usar o fato:

[tex3]\cos \hat{A} = \sen \hat{B}[/tex3]
[tex3]\cos \hat{B} = \sen \hat{A}[/tex3]

Da relação fundamental da trigonometria segue:

[tex3]\cos^2 \hat{A} + \sen^2 \hat{A} = 1 \implies \cos^2 \hat{A} + \cos^2 \hat{B} = 1[/tex3]

A questão pede [tex3]\cos \hat{A} + \cos \hat{B} + \cos \hat{C} [/tex3] , mas [tex3]\cos \hat{C} = \cos 90° = 0[/tex3] .
Logo, basta encontrar [tex3]\cos \hat{A} + \cos \hat{B}[/tex3]

(não consegui terminar, mas acredito que esse seja o caminho)




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botelho
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Jan 2022 18 09:06

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por botelho »

[tex3]\frac{cosA}{a} + \frac{cosB}{b} = \frac{bcosA+acosB}{ab}[/tex3] , pelo teorema das projeções é igual c.
[tex3]\frac{c}{ab} + \frac{cosC}{c} = \frac{c}{ab}[/tex3] . cosC=0 logo C=90°.
cosm+cosn=2. cos [tex3]\frac{m+n}{2}[/tex3] . cos [tex3]\frac{m-n}{2}[/tex3] (fórmula da transformação em produto)parei ai.
Agradeço ajuda.



goncalves3718
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Jan 2022 18 12:08

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Bem lembrado, sabendo que [tex3]\cos \hat{A} + \cos \hat{B} = 2\cos \left( \dfrac{\hat{A}+ \hat{B}}{2}\right) \cos \left( \dfrac{\hat{A}- \hat{B}}{2}\right)[/tex3] , temos:

[tex3]\cos \hat{A} + \cos \hat{B} = 2\cos 45° \cos \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} = \sqrt{2} \cdot \cos\left( \dfrac{ \hat{A} - \hat{B}}{2} \right)[/tex3]

Utilizando fórmulas:

[tex3]\cos \left(\dfrac{\hat{A}}{2} - \dfrac{\hat{B}}{2} \right) = \cos \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot \cos \dfrac{\hat{B}}{2} +\sen \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot \sen \dfrac{\hat{B}}{2}[/tex3]

Lembre-se que [tex3]\hat{A} + \hat{B} = 90°[/tex3] e que nesse caso [tex3]\cos x = \sen (90°-x)[/tex3] , de tal modo que [tex3]x+90°-x = 90°[/tex3] (ângulos complementares).
Qual seria o complementar de [tex3]\dfrac{\hat{B}}{2} \,[/tex3] ? Isso mesmo, [tex3]\dfrac{90°+ \hat{A}}{2}[/tex3]

[tex3]\cos \left( \dfrac{\hat{B}}{2} \right) = \sen \left( 45º+\dfrac{\hat{A}}{2} \right)[/tex3]

Com isso, a expressão fica:

[tex3]\cos \left(\dfrac{\hat{A}}{2} - \dfrac{\hat{B}}{2} \right) = \cos \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot \sen\left(45º +\dfrac{\hat{A}}{2} \right) +\sen \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot \cos \left( 45º + \dfrac{\hat{A}}{2} \right)[/tex3]

Isso nos lembra da fórmula [tex3]\sen (x+y) = \sen x \cos y + \sen y \cos x[/tex3] .
Tem-se então:

[tex3]\cos \left(\dfrac{\hat{A}}{2} - \dfrac{\hat{B}}{2} \right) = \sen \left( \dfrac{\hat{A}}{2} + 45º + \dfrac{\hat{A}}{2} =\right) = \sen \left( 45º + \hat{A} \right)[/tex3]

Logo:

[tex3]\cos \hat{A} + \cos \hat{B} = \sqrt{2} \sen (45º + \hat{A})[/tex3]

Problema resolvido! :D




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