Bem lembrado, sabendo que [tex3]\cos \hat{A} + \cos \hat{B} = 2\cos \left( \dfrac{\hat{A}+ \hat{B}}{2}\right) \cos \left( \dfrac{\hat{A}- \hat{B}}{2}\right)[/tex3]
, temos:
[tex3]\cos \hat{A} + \cos \hat{B} = 2\cos 45° \cos \dfrac{\hat{A} - \hat{B}}{2} = \sqrt{2} \cdot \cos\left( \dfrac{ \hat{A} - \hat{B}}{2} \right)[/tex3]
Utilizando fórmulas:
[tex3]\cos \left(\dfrac{\hat{A}}{2} - \dfrac{\hat{B}}{2} \right) = \cos \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot \cos \dfrac{\hat{B}}{2} +\sen \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot \sen \dfrac{\hat{B}}{2}[/tex3]
Lembre-se que [tex3]\hat{A} + \hat{B} = 90°[/tex3]
e que nesse caso [tex3]\cos x = \sen (90°-x)[/tex3]
, de tal modo que [tex3]x+90°-x = 90°[/tex3]
(ângulos complementares).
Qual seria o complementar de [tex3]\dfrac{\hat{B}}{2} \,[/tex3]
? Isso mesmo, [tex3]\dfrac{90°+ \hat{A}}{2}[/tex3]
[tex3]\cos \left( \dfrac{\hat{B}}{2} \right) = \sen \left( 45º+\dfrac{\hat{A}}{2} \right)[/tex3]
Com isso, a expressão fica:
[tex3]\cos \left(\dfrac{\hat{A}}{2} - \dfrac{\hat{B}}{2} \right) = \cos \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot \sen\left(45º +\dfrac{\hat{A}}{2} \right) +\sen \dfrac{\hat{A}}{2} \cdot \cos \left( 45º + \dfrac{\hat{A}}{2} \right)[/tex3]
Isso nos lembra da fórmula [tex3]\sen (x+y) = \sen x \cos y + \sen y \cos x[/tex3]
.
Tem-se então:
[tex3]\cos \left(\dfrac{\hat{A}}{2} - \dfrac{\hat{B}}{2} \right) = \sen \left( \dfrac{\hat{A}}{2} + 45º + \dfrac{\hat{A}}{2} =\right) = \sen \left( 45º + \hat{A} \right)[/tex3]
Logo:
[tex3]\cos \hat{A} + \cos \hat{B} = \sqrt{2} \sen (45º + \hat{A})[/tex3]
Problema resolvido!