Questões PerdidasSolucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:05 Tópico resolvido

Aqui ficará uma coletânea de questões antigas, com mais de 1 ano, que não foram respondidas ainda. Não é possível postar novas questões nesse fórum, apenas é possível resolver as que forem movidas para cá pelos moderadores.

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petras
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Solucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:05

Mensagem não lida por petras »

Problema Proposto
5 - Na figura se tem um quadrante com centro
"O". Calcular a área da região sombreada.
Se AM = 1m e MB = [tex3]\sqrt{2}[/tex3] m.
Resposta

A) [tex3]\frac{5 \pi}{8} - \frac{7}{4}[/tex3]
Anexos
fig2a.jpg
fig2a.jpg (12.49 KiB) Exibido 65 vezes




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jvmago
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Re: Solucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:05

Mensagem não lida por jvmago »

Já demonstrei essa propriedade aqui, AmB=135°

Traça AB=R√2 E APLICA a lei dos cossenos! O resto daí simples



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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joaopcarv
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Jan 2022 14 23:50

Re: Solucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:05

Mensagem não lida por joaopcarv »

Também podemos fazer pelo seguinte:

Seja [tex3]\mathsf{R}[/tex3] o raio do setor, e [tex3]\alpha, \beta[/tex3] os ângulos [tex3]\mathsf{\angle AOM, \ \angle BOM}[/tex3] , respectivamente.

[tex3]\mathsf{\alpha \ + \ \beta \ = \ 90^\circ \ \therefore \ \cos(\beta) \ = \ \sin(\alpha)}[/tex3]

Lei do cosseno em [tex3]\mathsf{\triangle AOM:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{1 \ = \ 2\cdot R^2 \cdot (1 \ - \ \cos(\alpha)) \ (I)}[/tex3]

Lei do cosseno em [tex3]\mathsf{\triangle BMO:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2 \ = \ 2\cdot R^2 \cdot (1 \ - \ \underbrace{\cos(\beta)}_{= \ \sin(\alpha)}) \ (II)}[/tex3]

Dividindo [tex3]\mathsf{II}[/tex3] por [tex3]\mathsf{I:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2 \ = \ \dfrac{1 \ - \ \sin(\alpha)}{1 \ - \ \cos(\alpha)}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\cos(\alpha) \ = \ \dfrac{1 \ + \ \sin(\alpha)}{2}}[/tex3]

Substitua na relação trigonométrica fundamental e ache [tex3]\mathsf{5 \cdot \sin^2(\alpha) \ + \ 2 \cdot \sin(\alpha) \ - \ 3 \ = \ 0.}[/tex3]

A solução válida é [tex3]\mathsf{\sin(\alpha) \ = \ \cos(\beta) \ = \ \dfrac{3}{5}}[/tex3] , e então [tex3]\mathsf{\cos(\alpha) \ = \ \sin(\beta) \ = \ \dfrac{4}{5}.}[/tex3]

Substitua em qualquer equação [tex3]\mathsf{(I), \ (II)}[/tex3] e ache [tex3]\mathsf{R^2 \ = \ \dfrac{5}{2}.}[/tex3]

A área designada [tex3]\mathsf{S}[/tex3] é a área do setor [tex3]\mathsf{AOB}[/tex3] menos as àreas dos triângulos [tex3]\mathsf{\triangle AOM}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\triangle BMO:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{S \ = \ S_{AOB} \ - \ S_{\triangle AOM} \ - \ S_{\triangle BMO}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{S \ = \ \dfrac{\theta \cdot R^2}{2} \ - \ \dfrac{R^2 \cdot \sin(\alpha)}{2} \ - \ \dfrac{R^2 \cdot sin(\beta)}{2}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{S \ = \ \dfrac{\frac{\pi}{2}\cdot \frac{5}{2}}{2} \ - \ \dfrac{\frac{\cancel{5}}{2} \cdot \frac{3}{\cancel{5}}}{2} \ - \ \dfrac{\frac{\cancel{5}}{2} \cdot \frac{4}{\cancel{5}}}{2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{S \ = \ \dfrac{5 \cdot \pi}{8} \ - \ \dfrac{7}{4} \ \ u.a.}}}[/tex3]


That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.

"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"

Poli-USP

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petras
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Jan 2022 15 07:16

Re: Solucionário:Racso - Cap XXII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:05

Mensagem não lida por petras »

S = área procurada
[tex3]\mathsf{AO=BO=R\\
\overset{\LARGE{\frown}}{AOB} = 270^o\implies \angle AMB(inscrito) = 135^o\\
Traçar:AB\\
T.Pit~- \triangle AOB: R^2+R^2 = AB^2 \implies AB = R\sqrt2\\
L. Cossenos - \triangle AMB:\\ (R\sqrt2)^2 = (\sqrt2)^2+(1)^2-2\sqrt2.1cos135^0 \implies R = \frac{\sqrt10}{2}
\\S =S_{setorAOB} -S_{\triangle AOB}-S_{\triangle AMB}=\\
\frac{\pi .(\frac{\sqrt10}{2})^2}{4}=\frac{5 \pi}{8}\\
S_{\triangle AOB} = \frac{(\frac{\sqrt{10}}{2})^2}{2}=\frac{5}{4}\\
S_{\triangle {AMB}} = \frac{1}{2}.sen135^o.1.\sqrt2=\frac{1}{2}
\\ \therefore S = \frac{5\pi}{8}-\frac{5}{4}-\frac{1}{2} = \boxed{\color{red}\frac{5\pi}{8} - \frac{7}{4}}







}[/tex3]




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