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Análise combinatória
Enviado: Qua 12 Jan, 2022 18:59
por MárcioG
Há um tempo estudei e tinha uma noção de como pensar a análise combinatória sem precisar das fórmulas maçantes, como a de arranjo e combinação. Não lembro como funcionava, mas tenho uma breve ideia de que usamos a permutação com repetição. Alguém pode me lembrar ou sabe uma forma útil de aprender esse conteúdo?
Como exemplo, a questão:
Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA?
Re: Análise combinatória
Enviado: Sex 14 Jan, 2022 18:33
por AlexandreHDK
Vamos pensar que no nosso conjunto existem 3 letras A diferentes e 2 letras R diferentes:[tex3]\{A_1,A_2,A_3,R_1,R_2\}[/tex3]
Assim, pode-se afirmar certamente que existem 5! anagramas, pois são permutações de 5 elementos sem repetição.
Agora, vamos comparar 2 permutações parecidas:
[tex3]A_1A_2A_3R_1R_2[/tex3]
[tex3]A_2A_1A_3R_1R_2[/tex3]
Elas diferem somente nas 2 primeiras letras, certo?
Então, quantos anagramas terminam em [tex3]R_1R_2[/tex3]
? Resposta: 3! anagramas, pois esta é a quantidade de permutações que fazemos com os A's.
Podemos extender esse raciocínio para todas as outras permutações. Se fixarmos as posições de [tex3]R_1[/tex3]
e de [tex3]R_2[/tex3]
, sempre temos 3! formas de posicionarmos [tex3]A_1[/tex3]
, [tex3]A_2[/tex3]
e [tex3]A_3[/tex3]
.
Portanto, para calcularmos a quantidade de permutações considerando os A's iguais, precisamos dividir o total por 3!.
Repetindo o raciocínio para os R, para tirarmos os repetidos basta dividir o total por 2!.
E assim, chegamos na fórmula de permutações com repetições: [tex3]P_5^{3,2}=\frac{5!}{3!.2!}=10[/tex3]