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Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
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Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Vamos crescer essa comunidade juntos
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Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ Construção de triângulo Tópico resolvido
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Babi123
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Jan 2022
08
04:18
Construção de triângulo
Sejam [tex3]BC=a,\angle BAC=\theta,BHGC \ cíclico.[/tex3]
[tex3]H[/tex3]
e [tex3]G[/tex3]
ortocentro e baricentro. Construir o [tex3]∆ABC[/tex3]
Autor: Thanos Kalogerakis
Editado pela última vez por Babi123 em 08 Jan 2022, 04:20, em um total de 1 vez.
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FelipeMartin
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Jan 2022
08
10:10
Re: Construção de triângulo
Com o ângulo [tex3]\angle BAC = \theta[/tex3]
, sabemos que [tex3]\angle BHC = 180^{\circ} - \theta[/tex3]
, então podemos construir a circunferência BHGC via arco capaz.
trace a mediatriz de BC e deixe ela encontrar uma reta que faça um ângulo [tex3]\theta[/tex3] com BC e passe pelo vértice B. Esse ponto de encontro será o centro do círculo desejado. Com compasso, trace o círculo centrado nele passando por B
Agora não sei se é melhor trabalhar com essa circunferência que já temos ou com a imagem dessa circunferência na homotetia centrada em G que leva H em O; B e C nos pontos médios de AC e AB respectivamente.
Resposta
trace a mediatriz de BC e deixe ela encontrar uma reta que faça um ângulo [tex3]\theta[/tex3] com BC e passe pelo vértice B. Esse ponto de encontro será o centro do círculo desejado. Com compasso, trace o círculo centrado nele passando por B
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FelipeMartin
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Jan 2022
17
12:17
Re: Construção de triângulo
Assumindo [tex3]\theta < 90^{\circ}[/tex3]
, uma solução não muito bonita, mas que funciona, é a seguinte:
Trace a mediatriz [tex3]m[/tex3] de [tex3]BC[/tex3] e marque nela os pontos [tex3]A_1[/tex3] e [tex3]A_2[/tex3] , reflexos um do outro em relação a [tex3]BC[/tex3] , tais que [tex3]\angle BA_1C = \angle BA_2C = \theta[/tex3] e sejam [tex3]S_1 = (A_1BC)[/tex3] e [tex3]S_2 = (A_2BC)[/tex3] .
Vamos admitir que [tex3]A[/tex3] esteja em [tex3]S_1[/tex3] , de forma que [tex3]H[/tex3] esteja em [tex3]S_2[/tex3] . Neste caso, o circuncentro [tex3]O[/tex3] do [tex3]\triangle ABC[/tex3] é o circuncentro de [tex3]S_1[/tex3] . Seja [tex3]X = m \cap S_2 \neq A_2[/tex3] . Então a potência de [tex3]O[/tex3] em relação a [tex3]S_2[/tex3] é [tex3]OH \cdot OG = OX \cdot OA_2[/tex3] , mas [tex3]OH = 2OG[/tex3] (reta de Euler/homotetia do baricentro), então [tex3]3OG^2 = OX \cdot OA_2[/tex3] .
Como temos [tex3]OX[/tex3] e [tex3]OA_2[/tex3] , podemos construir [tex3]OG[/tex3] e [tex3]G = \odot(O,OG) \cap S_2[/tex3] . Com [tex3]G[/tex3] , temos que [tex3]A[/tex3] é o encontro da reta [tex3]GM_A[/tex3] ([tex3]M_A[/tex3] é o ponto médio de [tex3]BC[/tex3] ) com [tex3]S_1[/tex3] no mesmo semiplano de [tex3]BC[/tex3] que [tex3]O[/tex3] .
Se [tex3]\theta = 90^{\circ}[/tex3] , então [tex3]A[/tex3] é ortocentro e o círculo [tex3]BCHG[/tex3] será o circuncírculo do triângulo [tex3]ABC[/tex3] , mas [tex3]G[/tex3] deve ser um ponto interior do [tex3]\triangle ABC[/tex3] , então o problema é impossível.
Trace a mediatriz [tex3]m[/tex3] de [tex3]BC[/tex3] e marque nela os pontos [tex3]A_1[/tex3] e [tex3]A_2[/tex3] , reflexos um do outro em relação a [tex3]BC[/tex3] , tais que [tex3]\angle BA_1C = \angle BA_2C = \theta[/tex3] e sejam [tex3]S_1 = (A_1BC)[/tex3] e [tex3]S_2 = (A_2BC)[/tex3] .
Vamos admitir que [tex3]A[/tex3] esteja em [tex3]S_1[/tex3] , de forma que [tex3]H[/tex3] esteja em [tex3]S_2[/tex3] . Neste caso, o circuncentro [tex3]O[/tex3] do [tex3]\triangle ABC[/tex3] é o circuncentro de [tex3]S_1[/tex3] . Seja [tex3]X = m \cap S_2 \neq A_2[/tex3] . Então a potência de [tex3]O[/tex3] em relação a [tex3]S_2[/tex3] é [tex3]OH \cdot OG = OX \cdot OA_2[/tex3] , mas [tex3]OH = 2OG[/tex3] (reta de Euler/homotetia do baricentro), então [tex3]3OG^2 = OX \cdot OA_2[/tex3] .
Como temos [tex3]OX[/tex3] e [tex3]OA_2[/tex3] , podemos construir [tex3]OG[/tex3] e [tex3]G = \odot(O,OG) \cap S_2[/tex3] . Com [tex3]G[/tex3] , temos que [tex3]A[/tex3] é o encontro da reta [tex3]GM_A[/tex3] ([tex3]M_A[/tex3] é o ponto médio de [tex3]BC[/tex3] ) com [tex3]S_1[/tex3] no mesmo semiplano de [tex3]BC[/tex3] que [tex3]O[/tex3] .
Se [tex3]\theta = 90^{\circ}[/tex3] , então [tex3]A[/tex3] é ortocentro e o círculo [tex3]BCHG[/tex3] será o circuncírculo do triângulo [tex3]ABC[/tex3] , mas [tex3]G[/tex3] deve ser um ponto interior do [tex3]\triangle ABC[/tex3] , então o problema é impossível.
Editado pela última vez por FelipeMartin em 17 Jan 2022, 12:20, em um total de 3 vezes.
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FelipeMartin
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Jan 2022
29
00:11
Re: Construção de triângulo
a chave para outra solução parece ser o ponto "[tex3]A[/tex3]
- Humpty" que está sobre a mediana [tex3]AM[/tex3]
e está no círculo [tex3](BHC)[/tex3]
. No caso, ele necessariamente deveria ser o baricentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
. Isso deve truncar de uma forma não trivial o triângulo:
https://pregatirematematicaolimpiadejun ... ts__1_.pdf
Uma segunda solução seria a seguinte: Seja [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BC[/tex3] e sejam [tex3]S_1[/tex3] e [tex3]S_2[/tex3] conforme descrito acima. Podemos construir um círculo [tex3]S_3[/tex3] , imagem da homotetia centrada em [tex3]M[/tex3] de razão [tex3]3:1[/tex3] de [tex3]S_1[/tex3] , e encontrá-lo com [tex3]S_2[/tex3] . Isso nos dará o baricentro.
https://pregatirematematicaolimpiadejun ... ts__1_.pdf
Uma segunda solução seria a seguinte: Seja [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BC[/tex3] e sejam [tex3]S_1[/tex3] e [tex3]S_2[/tex3] conforme descrito acima. Podemos construir um círculo [tex3]S_3[/tex3] , imagem da homotetia centrada em [tex3]M[/tex3] de razão [tex3]3:1[/tex3] de [tex3]S_1[/tex3] , e encontrá-lo com [tex3]S_2[/tex3] . Isso nos dará o baricentro.
Editado pela última vez por FelipeMartin em 29 Jan 2022, 00:23, em um total de 2 vezes.
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