Ensino Médio

Mensagem não lidapor **gab1234** » Qua 05 Jan, 2022 22:05

Três máquinas de reciclagem são ligadas simultaneamente, porém cada uma tem um tempo de espera para efetivamente começar a funcionar. Considere que os três tempos de espera, em segundos, sejam distintos entre si e que, quando ordenados do menor para o maior tempo, formam uma progressão geométrica. Sabendo que a soma desses três tempos é igual a 39 e que o produto deles é igual a 729, então o maior tempo de espera de
uma dessas três máquinas de reciclagem será igual a
(A) 45 segundos.
(B) 33 segundos.
(C) 37 segundos.
(D) 55 segundos.
(E) 27 segundos

Resposta

e

Sendo um PG, tomemos que os seus termos são [tex3]\(\frac{a}{r},a,ar\)[/tex3] .

O produto deles é:
[tex3]a^3=729\,\,\,\therefore\,\,\,a^3=9^3\,\,\,\therefore\,\,\,a=9[/tex3]

E com a soma deles:
[tex3]\frac{9}{r}+9+9r=39[/tex3]

[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}9}^3}\(\frac{1}{r}+r\)={\color{Red}\cancel{\color{Black}30}^{10}}[/tex3]

[tex3]3\(\frac{1+r^2}{r}\)=10[/tex3]

[tex3]3r^2-10r+3=0[/tex3]

[tex3]r=\frac{10\pm\sqrt{10^2-4\cdot3\cdot3}}{2\cdot3}[/tex3]

[tex3]r=\frac{10\pm\sqrt{64}}{6}[/tex3]

[tex3]r=\frac{10\pm8}{6}[/tex3]

[tex3]r_1=3\\r_2=\frac{1}{3}[/tex3]

*Dado a estrutura da conta, esse resultado sempre da dois valores inversamente proporcionais, vamos tomar [tex3]r_1[/tex3] e utiliza-lo no terceiro termo da PG:

[tex3]ar=9\cdot3={\color{MidNightBlue}\boxed{27s}}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]

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