Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Harison** » Ter 04 Jan, 2022 08:49

Resolva:
A)A soma das soluções da equação [tex3]\begin{pmatrix}
11 \\
x \\
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
10 \\
3 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
10 \\
2 \\
\end{pmatrix}[/tex3] é 11?

Resposta

Sim

[tex3]\begin{pmatrix} 11 \\ x \\ \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ \end{pmatrix} [/tex3]

[tex3]\dfrac{11!}{x!(11-x)!} - \dfrac{10!}{3!7!} = \dfrac{10!}{2!8!} \implies \dfrac{11!}{x!(11-x)!} - 120= 45 \implies \dfrac{11!}{x!(11-x)!} = 165[/tex3]

Fatorando [tex3]165[/tex3] :

[tex3]165|3[/tex3]
[tex3]\,55|\,\,5[/tex3]
[tex3]\,11|\, 11[/tex3]
[tex3]\,\, 1[/tex3]

Então [tex3]165 = 3 \cdot 5 \cdot 11[/tex3]

Analisando [tex3]11! = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8![/tex3] (Perceba que se dividirmos [tex3]10[/tex3] por 2 e [tex3]9[/tex3] por [tex3]3[/tex3] , teremos [tex3]11 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 8![/tex3] . Logo, uma estratégia é sumir com [tex3]8![/tex3] (dividir por [tex3]8![/tex3] ) e também dividir por [tex3]2 \cdot 3 = 3![/tex3] (Essa parte é raciocínio lógico)

Solução: [tex3]x=8[/tex3]

[tex3]\dfrac{11!}{8!3!}[/tex3]

e [tex3]x=3[/tex3]

[tex3]\dfrac{11!}{3!8!}[/tex3]

A soma é [tex3]8+3 = 11[/tex3]

Espero que tenha entendido!

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Análise combinatória

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