Ensino Médio

Mensagem não lidapor **buiu229** » Ter 16 Ago, 2022 17:22

Considere o paralelogramo ABCD onde o vetor AB = (2, -4) e M = (2, 1) é ponto médio do lado DC, para responder os seguintes items.

(a) Determine as coordenadas dos vértices C e D.
(b) Se o vetor AM é perpendicular ao vetor DC e || AM|| = √5. Determine as coordenadas dos vértices A e B.

a)
Sabemos que num paralelogramo, lados opostos são paralelos. Portanto o lado [tex3]\overline{AB}[/tex3] , e portanto, o vetor [tex3]\vec{AB}[/tex3] é paralelo ao lado [tex3]\overline{CD}[/tex3] , e portanto, ao vetor [tex3]\vec{CD}[/tex3] . Porém, como ilustrado na imagem abaixo, os vetores terão sentidos diferentes:

: Paralelogramo abcd com vetores.png (4.25 KiB) Exibido 665 vezes

Por serem paralelos, temos que [tex3]\vec{CD}=k\cdot\vec{AB}[/tex3] . Como possuem sentidos opostos, então [tex3]\vec{CD}=-k\cdot\vec{AB},~~ k>0[/tex3] . E como em um paralelogramo os lados opostos possuem mesma medida, temos que [tex3]k=1[/tex3] , logo:
[tex3]\vec{CD}=-\vec{AB}[/tex3]
[tex3]\vec{CD}=(-2,4)[/tex3]
Seja [tex3]C=(c_1,c_2)[/tex3] e [tex3]D=(d_1,d_2)[/tex3] . Pela definição de vetores:
[tex3]\vec{CD}=D-C[/tex3]
[tex3](-2,4)=(d_1,d_2)-(c_1,c_2)[/tex3]
[tex3](-2,4)=(d_1-c_1,d_2-c_2)[/tex3]
Por igualdade de vetores:
[tex3]\begin{cases}
-2=d_1-c_1 \\
4=d_2-c_2
\end{cases}\implies\begin{cases}
d_1=-2+c_1 \\
d_2=4+c_2
\end{cases}[/tex3]
Sabemos que [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]C[/tex3] e [tex3]D[/tex3] , logo:
[tex3]M={C+D\over2}[/tex3]
[tex3](2,1)={(c_1,c_2)+(d_1,d_2)\over2}[/tex3]
[tex3](4,2)=(c_1+d_1,c_2+d_2)[/tex3]
Por igualdade de vetores:
[tex3]\begin{cases}
4=c_1+d_1 \\
2=c_2+d_2
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
4=c_1-2+c_1 \\
2=c_2+4+c_2
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
3=c_1 \\
-1=c_2
\end{cases}[/tex3]
Portanto, [tex3]C=(3,-1)[/tex3] e [tex3]D=(1,3)[/tex3].

b)
Seja [tex3]A=(a_1,a_2)[/tex3] e [tex3]B=(b_1,b_2)[/tex3] . Temos:
[tex3]\vec{AM}=M-A[/tex3]
[tex3]\vec{AM}=(2,1)-(a_1,a_2)[/tex3]
[tex3]\vec{AM}=(2-a_1,1-a_2)[/tex3]
Sabemos que [tex3]\vec{AM}\perp\vec{DC}[/tex3] , portanto, seu produto escalar é nulo:
[tex3]\vec{AM}\odot\vec{DC}=0[/tex3]
Como [tex3]\vec{DC}=-\vec{CD}[/tex3] , temos:
[tex3](2-a_1,1-a_2)\odot(2,-4)=0[/tex3]
[tex3]2(2-a_1)+(-4)(1-a_2)=0[/tex3]
[tex3]4-2a_1-4+4a_2=0[/tex3]
[tex3]-a_1+2a_2=0[/tex3]
[tex3]a_1=2a_2[/tex3]

Sabemos também que [tex3]\left\|\vec{AM}\right\|=\sqrt{5}[/tex3] , portanto:
[tex3]\left\|\vec{AM}\right\|=\sqrt5[/tex3]
[tex3]\sqrt{(2-a_1)^2+(1-a_2)^2}=\sqrt5[/tex3]
[tex3](2-2a_2)^2+(1-a_2)^2=5[/tex3]
[tex3]4-8a_2+4a_2^2+1-2a_2+a_2^2=5[/tex3]
[tex3]5-10a_2+5a_2^2=5[/tex3]
[tex3]1-2a_2+a_2^2=1[/tex3]
[tex3](1-a_2)^2=1[/tex3]
[tex3]1-a_2=\pm1[/tex3]
[tex3]-a_2=-1\pm1[/tex3]
[tex3]a_2=1\pm1[/tex3]
[tex3]a_2=0[/tex3] ou [tex3]a_2=2[/tex3] .
Vou resolver o caso [tex3]a_2=0[/tex3] , vou deixar o outro de tarefa.

[tex3]a_1=2a_2=0[/tex3]
Portanto, [tex3]A=(0,0)[/tex3]. Temos que:
[tex3]\vec{AB}=B-A[/tex3]
[tex3]B=A+\vec{AB}[/tex3]
[tex3]B=(0,0)+(2,-4)[/tex3]
[tex3]B=(2,-4)[/tex3]

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