Resposta
[tex3]-\frac{1}{4}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Circunferência trigonométrica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2022
05
11:24
Circunferência trigonométrica
Um triângulo tem um ângulo agudo interno de medida [tex3]\alpha [/tex3]
,com [tex3]sen\alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]
.Calcule o cosseno da soma dos outros dois ângulos.
[tex3]-\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]-\frac{1}{4}[/tex3]
Jul 2022
06
10:34
Re: Circunferência trigonométrica
Como [tex3]\alpha[/tex3]
é agudo, seu seno e cosseno são positivos. Então:
[tex3]sen^2\alpha +cos^2\alpha =1[/tex3]
[tex3]\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2+cos^2\alpha =1[/tex3]
[tex3]\frac{15}{16}+cos^2\alpha =\frac{16}{16}[/tex3]
[tex3]cos(\alpha )=\frac{1}{4}[/tex3]
Os outros 2 ângulos internos são [tex3]\beta [/tex3] e [tex3]\gamma [/tex3] .
Os ângulos [tex3]\alpha [/tex3] e [tex3]\left(\beta +\gamma \right)[/tex3] são suplementares (sua soma é 180°)
[tex3]sen(\alpha +\beta +\gamma )=sen(\alpha )*cos(\beta +\gamma )+sen(\beta +\gamma )*cos(\alpha )[/tex3]
[tex3]sen(180°)=\frac{\sqrt{15}}{4}*cos(\beta +\gamma )+\frac{1}{4}*sen(\beta +\gamma )[/tex3]
[tex3]0=\frac{\sqrt{15}}{4}*cos(\beta +\gamma )+\frac{1}{4}*sen(\beta +\gamma )[/tex3]
[tex3]cos(\alpha +\beta +\gamma )=cos(\alpha )*cos(\beta +\gamma )-sen(\alpha )*sen(\beta +\gamma )[/tex3]
[tex3]cos(180°)=\frac{1}{4}*cos(\beta +\gamma )-\frac{\sqrt{15}}{4}*sen(\beta +\gamma )[/tex3]
[tex3]-1=\frac{1}{4}*cos(\beta +\gamma )-\frac{\sqrt{15}}{4}*sen(\beta +\gamma )[/tex3]
Chegamos ao seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
0=\frac{\sqrt{15}}{4}*cos(\beta +\gamma )+\frac{1}{4}*sen(\beta +\gamma ) \\
-1=\frac{1}{4}*cos(\beta +\gamma )-\frac{\sqrt{15}}{4}*sen(\beta +\gamma )\end{cases}[/tex3]
Pra simplificar, fazemos a seguinte substituição:
[tex3]sen(\beta +\gamma )=S[/tex3]
[tex3]cos(\beta +\gamma )=C[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
0=\frac{\sqrt{15}}{4}C+\frac{1}{4}S \\
-1=\frac{1}{4}C-\frac{\sqrt{15}}{4}S\end{cases}[/tex3]
Multiplicamos a primeira equação por [tex3]\sqrt{15}[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
0=\frac{15}{4}C+\frac{\sqrt{15}}{4}S \\
-1=\frac{1}{4}C-\frac{\sqrt{15}}{4}S\end{cases}[/tex3]
Somamos as duas equações:
[tex3]-1=\frac{16}{4}C+0S[/tex3]
[tex3]-1=4C[/tex3]
[tex3]C=cos(\beta +\gamma )=-\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]sen^2\alpha +cos^2\alpha =1[/tex3]
[tex3]\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2+cos^2\alpha =1[/tex3]
[tex3]\frac{15}{16}+cos^2\alpha =\frac{16}{16}[/tex3]
[tex3]cos(\alpha )=\frac{1}{4}[/tex3]
Os outros 2 ângulos internos são [tex3]\beta [/tex3] e [tex3]\gamma [/tex3] .
Os ângulos [tex3]\alpha [/tex3] e [tex3]\left(\beta +\gamma \right)[/tex3] são suplementares (sua soma é 180°)
[tex3]sen(\alpha +\beta +\gamma )=sen(\alpha )*cos(\beta +\gamma )+sen(\beta +\gamma )*cos(\alpha )[/tex3]
[tex3]sen(180°)=\frac{\sqrt{15}}{4}*cos(\beta +\gamma )+\frac{1}{4}*sen(\beta +\gamma )[/tex3]
[tex3]0=\frac{\sqrt{15}}{4}*cos(\beta +\gamma )+\frac{1}{4}*sen(\beta +\gamma )[/tex3]
[tex3]cos(\alpha +\beta +\gamma )=cos(\alpha )*cos(\beta +\gamma )-sen(\alpha )*sen(\beta +\gamma )[/tex3]
[tex3]cos(180°)=\frac{1}{4}*cos(\beta +\gamma )-\frac{\sqrt{15}}{4}*sen(\beta +\gamma )[/tex3]
[tex3]-1=\frac{1}{4}*cos(\beta +\gamma )-\frac{\sqrt{15}}{4}*sen(\beta +\gamma )[/tex3]
Chegamos ao seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
0=\frac{\sqrt{15}}{4}*cos(\beta +\gamma )+\frac{1}{4}*sen(\beta +\gamma ) \\
-1=\frac{1}{4}*cos(\beta +\gamma )-\frac{\sqrt{15}}{4}*sen(\beta +\gamma )\end{cases}[/tex3]
Pra simplificar, fazemos a seguinte substituição:
[tex3]sen(\beta +\gamma )=S[/tex3]
[tex3]cos(\beta +\gamma )=C[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
0=\frac{\sqrt{15}}{4}C+\frac{1}{4}S \\
-1=\frac{1}{4}C-\frac{\sqrt{15}}{4}S\end{cases}[/tex3]
Multiplicamos a primeira equação por [tex3]\sqrt{15}[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
0=\frac{15}{4}C+\frac{\sqrt{15}}{4}S \\
-1=\frac{1}{4}C-\frac{\sqrt{15}}{4}S\end{cases}[/tex3]
Somamos as duas equações:
[tex3]-1=\frac{16}{4}C+0S[/tex3]
[tex3]-1=4C[/tex3]
[tex3]C=cos(\beta +\gamma )=-\frac{1}{4}[/tex3]
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