Ensino MédioConjuntos Numéricos Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Deleted User 27150
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Jul 2021 30 05:39

Conjuntos Numéricos

Mensagem não lida por Deleted User 27150 »

Em um colégio, há 456 alunos matriculados no 1º ano do ensino médio distribuídos entre os períodos matutino e noturno. Para participar de uma competição esportiva, inscreveram-se [tex3]\frac{15}{17}[/tex3] dos alunos do matutino e [tex3]\frac{7}{23}[/tex3] dos alunos do noturno.
quantos alunos do noturno não irão participar da competição?

Gabarito
Resposta

128
Já tentei resolver essa questão , mas sem sucesso :( , vi algumas soluções , porém fiquei com mais dúvidas ainda. :(




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NigrumCibum
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Jul 2021 30 10:51

Re: Conjuntos Numéricos

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Sejam a os alunos do período noturno e b os alunos do período matutino, com a e b sendo números naturais.
No período noturno [tex3]\frac{7}{23}a[/tex3] vão participar da competicão e [tex3]\frac{16}{23}a[/tex3] não vão, e como essas frações são números inteiros, a deve ser da forma [tex3]a=23x[/tex3] , com x natural.
No período matutino, [tex3]\frac{15}{17}b[/tex3] vão participar e [tex3]\frac{3}{17}b[/tex3] não vão, então [tex3]b=17y[/tex3] , com y natural.
Assim [tex3]23x+17y=456.[/tex3]
Uma equação diofantina da forma [tex3]ax+by=c[/tex3] terá solução, se [tex3]mdc(a, b)|c[/tex3] com [tex3]x=x_0+\frac{b}{mdc(a, b)}t[/tex3] e [tex3]y=y_0-\frac{a}{mdc(a,b)}t[/tex3] , onde o par de inteiros [tex3]x_0[/tex3] e [tex3]y_0 [/tex3] é uma solução particular da equação.
Deste modo: [tex3]mdc(23, 17)=1\implies 1|456[/tex3] e como [tex3]23×8+17×16=456[/tex3] , tem-se que [tex3]x_0=8 [/tex3] e [tex3]y_0=16[/tex3] , assim: [tex3]x=8+17t[/tex3] e [tex3]y=16-23t[/tex3] , no entanto, y>0, então a única solução ocorre quando t=0, desta forma: [tex3]x=8[/tex3] e [tex3]y=16[/tex3] .
Portanto, o número de alunos do período noturno fora da competição é [tex3]23×8×\frac{16}{23}=128.[/tex3]

Última edição: NigrumCibum (Sex 30 Jul, 2021 18:04). Total de 5 vezes.


Arrêter le temps!

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Deleted User 27150
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Jul 2021 30 17:46

Re: Conjuntos Numéricos

Mensagem não lida por Deleted User 27150 »

NigrumCibum, Muito obrigado , eu nunca tinha visto algo sobre a Equação diofantina , essa resolução foi uma aula , aprendi muito , muito obrigado mesmo :):)



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NigrumCibum
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Jul 2021 30 17:59

Re: Conjuntos Numéricos

Mensagem não lida por NigrumCibum »

NicolasCleide, tem um material legal sobre isso no POTI: Se estiver procurando um livro que aborde o assunto, eu recomendo o livro 1 do Rufino e o livro do Morgado.


Arrêter le temps!

Autor do Tópico
Deleted User 27150
6 - Doutor
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Jul 2021 30 18:40

Re: Conjuntos Numéricos

Mensagem não lida por Deleted User 27150 »

NigrumCibum, Muito obrigado pelas sugestões :):)




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