Ensino MédioTrigonometria Tópico resolvido

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nosbier
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Mar 2021 06 19:44

Trigonometria

Mensagem não lida por nosbier »

Alguém poderia me ajudar nas soluções nessas 3 questões por favor.7

1. Mostre que, supondo-se a expressão definida
1.png
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2. Faça o que se pede nos itens a seguir:
a)Determine todos os números reais x de modo que cossec [tex3]\frac{3x }{2}[/tex3] seja definido.
b) Determine todos os reais x [tex3]\in [/tex3] [0,2 [tex3]\pi ][/tex3] para os quais esse valor não é definido.

3. Se o número cotg [tex3]\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\right)[/tex3] não é definido, determine o valor de cos x.


Respostas:
1. sec x
2. a) x [tex3]\neq \frac{2k\pi }{3}[/tex3] (k inteiro)
b) 0, [tex3]\frac{2\pi }{3}[/tex3] e [tex3]\frac{4\pi }{3}[/tex3]
3. [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]


Obrigado




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LostWalker
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Mar 2021 06 21:36

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por LostWalker »

Eu iniciei o exercício e fiquei travado nas simplificações.

De maneira bem acelerada, o que eu fiz foi

[tex3]\frac{{\color{Red}\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)}\cdot{\color{Blue}\cossec\(\pi-x\)}}{{\color{YellowOrange}\tg(-x)}\cdot{\color{Green}\cotg(4\pi+x)}}[/tex3]


[tex3]\boxed{\color{Red}\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cotg(x)\\

\color{Blue}\cossec\(\pi-x\)=\frac{1}{\sen(x)}\\

\color{YellowOrange}\tg(-x)=\frac{-\sen(x)}{\cos(x)}\\

\color{Green}\cotg(4\pi+x)=\cotg(x)}[/tex3]


[tex3]\frac{{\color{Red}\cotg(x)}}{{\color{Green}\cotg(x)}}\cdot{\color{YellowOrange}\frac{\cos(x)}{-\sen(x)}}\cdot{\color{Blue}\frac{1}{\sen\(x\)}}=-\frac{-\cos(x)}{\sen^2(x)}[/tex3]


Alguém saberia apontar meu erro?

Última edição: LostWalker (Sáb 06 Mar, 2021 21:39). Total de 1 vez.


"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
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NigrumCibum
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Mar 2021 06 21:58

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por NigrumCibum »

LostWalker, na verdade [tex3]\cotg(\frac{\pi}{2}-x)=tg(x)[/tex3]


Arrêter le temps!

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LostWalker
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Mar 2021 07 00:44

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por LostWalker »

Thx
NigrumCibum muito obrigado. 3 anos e eu ainda insisto em desenhar errado em trigonometria.



Questão 1
Provar as igualdades a seguir é muito mais fácil graficamente (ironicamente a isso, eu fiquei travado por desenhar errado como na resposta acima), mas eu não estou lá com tanta paciência as 23h de um sábado pra isso... então... vou usar álgebra mesmo.

[tex3]\frac{{\color{Red}\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)}\cdot{\color{Blue}\cossec\(\pi-x\)}}{{\color{YellowOrange}\tg(-x)}\cdot{\color{Green}\cotg(4\pi+x)}}[/tex3]


[tex3]{\color{Red}\boxed{\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)}{\sen\(\frac{\pi}{2}-x\)}=\frac{\sen(x)}{\cos(x)}=\tg(x)}}[/tex3]

[tex3]{\color{Blue}\boxed{\cossec\(\pi-x\)=\frac{1}{\sen(\pi-x)}=\frac{1}{\sen(x)}}}[/tex3]

[tex3]{\color{YellowOrange}\boxed{\tg(-x)=-\tg(x)}}[/tex3]

[tex3]{\color{Green}\boxed{\cotg(4\pi+x)=\cotg(2k+x)=\cotg(x)=\frac{\cos(x)}{\sen(x)}}}[/tex3]


[tex3]\frac{\color{Red}\tg(x)}{\color{YellowOrange}-\tg(x)}\cdot{\color{Blue}\frac{1}{\sen(x)}}\cdot{\color{Green}\frac{\sen(x)}{\cos(x)}}=-\sec(x)[/tex3]



Questão 2, Parte (a)
Note a restrição para [tex3]\sec(x)[/tex3]

[tex3]\sec(k\pi)=\mbox{indeterminado }\forall \,k\in\mathbb{Z}[/tex3]


Com isso:
[tex3]-\sec\(\frac{3x}{2}\)\neq\sec(k\pi)\\\sec\(\frac{3x}{2}+\pi\)\neq\sec(k\pi)\\\frac{3x}{2}+\pi\neq k\pi\\\frac{3x}{2}\neq\pi(k-1)\\\boxed{x\neq\frac{2\pi(k-1)}{3}}[/tex3]


Mas aqui tem um porem. Essa é a resposta do gab, entretanto, o denominador não pode zerar:
[tex3]\frac{\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)\cdot\cossec\(\pi-x\)}{\color{Red}\tg(-x)\cdot\cotg(4\pi+x)}[/tex3]


O correto seria dizer:
[tex3]-\sec\(\frac{3x}{2}\)\neq\sec\(\frac{k\pi}{2}\)\\\sec\(\frac{3x}{2}+\pi\)\neq\sec\(\frac{k\pi}{2}\)\\\frac{3x}{2}+\pi\neq \frac{k\pi}{2}\\\frac{3x}{2}\neq\frac{\pi(k-2)}{2}\\\boxed{x\neq\frac{\pi(k-2)}{3}}[/tex3]

Anyway, eu irei prosseguir citando as duas resposta.



Questão 2, Parte (b)
Apenas verificando os valores para [tex3]k[/tex3] , com uma rápida olhada, para o Gab, seguiria-se

[tex3]k=1\,\,\,\therefore\,\,\,x=0[/tex3]

[tex3]k=2\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{2\pi}{3}[/tex3]

[tex3]k=3\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{4\pi}{3}[/tex3]


E seguindo a minha preposição:

[tex3]k=2\,\,\,\therefore\,\,\,x=0[/tex3]

[tex3]k=3\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{\pi}{3}[/tex3]

[tex3]k=4\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{2\pi}{3}[/tex3]

[tex3]k=5\,\,\,\therefore\,\,\,x=\pi[/tex3]

[tex3]k=6\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{4\pi}{3}[/tex3]



Questão 3
Seguindo a ideia do exercício 2.a, vamos lembra quando há a Indeterminação.

[tex3]\cotg\(\frac{k\pi}{2}\)=\mbox{Indeterminado }\,\forall\,k\in\mathbb{Z}[/tex3]


Logo:
[tex3]\cotg\(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\)=\cotg\(\frac{k\pi}{2}\)\\\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{k\pi}{2}\\\frac{x}{2}=\frac{3k\pi+\pi}{6}\\\boxed{x=\frac{\pi(3k+1)}{3}}[/tex3]


Estudando esses, para [tex3]k=0,1[/tex3]

[tex3]\boxed{\cos(x)=\pm\frac{1}{2}}[/tex3]
Última edição: LostWalker (Dom 07 Mar, 2021 01:04). Total de 2 vezes.


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nosbier
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Re: Trigonometria

Mensagem não lida por nosbier »

Boa noite!
O gabarito da 1ª questão é apenas sex(x), será que o gabarito está errado?

Já nas questões 2 e 3, não consegui entender muito bem.

Obrigado



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LostWalker
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Mar 2021 09 00:26

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por LostWalker »

Observação Importante e Desculpas
nosbier, primeiramente, enquanto eu refazia as contas para sanar suas dúvidas, eu notei um erro super grosserio da minha parte. Quando eu fiz o exercício, eu consegui criar uma mega confusão e pra mim, a questão 1 e 2 se complementavam, mas noto que elas são completamente independentes. Ou seja, toda a questão de verificar o denominador é algo completamente errado. Não há como eu editar e corrigir a resposta já que ela está dada como aceita, mas colocarei corretamente abaixo. Se as questões fossem complementares, a conta sim estaria correta (sob uma outra ressalva e troca que eu fiz, tanto que você pode notar que as contas usam Secante, mas consideram o Domínio e Contradomínio de Cossecante, verdadeiramente uma bagunça o que eu consegui fazer).



Questão 1
nosbier, eu tentei bastante encontrar como transformar o valor em positivo. Talvez algo na minha conta esteja errado, eu procurei, infelizmente eu realmente não achei.



Questão 2
Entendendo o que indetermina a função:

[tex3]\cossec(y)=\frac{1}{\sen(y)}\,\,\,\mbox{Se }\sen(y)=0\mbox{ o denominador zera, Indefinido.}[/tex3]


Contando que:
[tex3]\sen(k\pi)=0\,\,\,\forall\,k\in\mathbb{Z}[/tex3]


Temos que:
[tex3]\cossec\(\frac{3x}{2}\)\neq\cossec\(k\pi\)\\\frac{3x}{2}\neq k\pi\\\boxed{x\neq\frac{2k\pi}{3}}[/tex3]


Lembre-se de Ignorar a parte a seguir em Considerando a minha (errônea) preposição em Questão 2, parte b



Questões 3
Inicialmente, pense no que torna a função não definida

[tex3]\cotg(y)=\frac{1}{\tg(y)}\,\,\,\mbox{Se }\tg(y)=0\mbox{ o denominador zera, Indefinido.}[/tex3]


E como sabemos:
[tex3]\tg\(\frac{k\pi}{2}\)=0\,\,\,\,\,\forall\,k\in\mathbb{Z}[/tex3]


Logo, prosseguimos a conta normalmente, chegando como na minha resposta em:
[tex3]\boxed{x=\frac{\pi(3k+1)}{3}}[/tex3]


Tentando os valores:

[tex3]\boxed{k=0\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{\pi}{3}\)=\frac{1}{2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{k=1\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{4\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{4\pi}{3}\)=-\frac{1}{2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{k=2\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{7\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{7\pi}{3}\)=\frac{1}{2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{k=3\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{10\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{10\pi}{3}\)=-\frac{1}{2}}[/tex3]


Veja que os resultados são sempre [tex3]\boxed{\pm\frac{1}{2}}[/tex3] .

Última edição: LostWalker (Ter 09 Mar, 2021 00:42). Total de 2 vezes.


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