Alguém poderia me ajudar nas soluções nessas 3 questões por favor.7
1. Mostre que, supondo-se a expressão definida
2. Faça o que se pede nos itens a seguir:
a)Determine todos os números reais x de modo que cossec [tex3]\frac{3x }{2}[/tex3]
seja definido.
b) Determine todos os reais x [tex3]\in [/tex3]
[0,2 [tex3]\pi ][/tex3]
para os quais esse valor não é definido.
3. Se o número cotg [tex3]\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\right)[/tex3]
não é definido, determine o valor de cos x.
Respostas:
1. sec x
2. a) x [tex3]\neq \frac{2k\pi }{3}[/tex3]
(k inteiro)
b) 0, [tex3]\frac{2\pi }{3}[/tex3]
e [tex3]\frac{4\pi }{3}[/tex3]
3. [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
Obrigado
Ensino Médio ⇒ Trigonometria Tópico resolvido
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Mar 2021
06
21:36
Re: Trigonometria
Eu iniciei o exercício e fiquei travado nas simplificações.
De maneira bem acelerada, o que eu fiz foi
[tex3]\frac{{\color{Red}\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)}\cdot{\color{Blue}\cossec\(\pi-x\)}}{{\color{YellowOrange}\tg(-x)}\cdot{\color{Green}\cotg(4\pi+x)}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\color{Red}\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cotg(x)\\
\color{Blue}\cossec\(\pi-x\)=\frac{1}{\sen(x)}\\
\color{YellowOrange}\tg(-x)=\frac{-\sen(x)}{\cos(x)}\\
\color{Green}\cotg(4\pi+x)=\cotg(x)}[/tex3]
[tex3]\frac{{\color{Red}\cotg(x)}}{{\color{Green}\cotg(x)}}\cdot{\color{YellowOrange}\frac{\cos(x)}{-\sen(x)}}\cdot{\color{Blue}\frac{1}{\sen\(x\)}}=-\frac{-\cos(x)}{\sen^2(x)}[/tex3]
Alguém saberia apontar meu erro?
De maneira bem acelerada, o que eu fiz foi
[tex3]\frac{{\color{Red}\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)}\cdot{\color{Blue}\cossec\(\pi-x\)}}{{\color{YellowOrange}\tg(-x)}\cdot{\color{Green}\cotg(4\pi+x)}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\color{Red}\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cotg(x)\\
\color{Blue}\cossec\(\pi-x\)=\frac{1}{\sen(x)}\\
\color{YellowOrange}\tg(-x)=\frac{-\sen(x)}{\cos(x)}\\
\color{Green}\cotg(4\pi+x)=\cotg(x)}[/tex3]
[tex3]\frac{{\color{Red}\cotg(x)}}{{\color{Green}\cotg(x)}}\cdot{\color{YellowOrange}\frac{\cos(x)}{-\sen(x)}}\cdot{\color{Blue}\frac{1}{\sen\(x\)}}=-\frac{-\cos(x)}{\sen^2(x)}[/tex3]
Alguém saberia apontar meu erro?
Última edição: LostWalker (Sáb 06 Mar, 2021 21:39). Total de 1 vez.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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Mar 2021
06
21:58
Re: Trigonometria
LostWalker, na verdade [tex3]\cotg(\frac{\pi}{2}-x)=tg(x)[/tex3]
Arrêter le temps!
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Mar 2021
07
00:44
Re: Trigonometria
Thx
NigrumCibum muito obrigado. 3 anos e eu ainda insisto em desenhar errado em trigonometria.
Questão 1
Provar as igualdades a seguir é muito mais fácil graficamente (ironicamente a isso, eu fiquei travado por desenhar errado como na resposta acima), mas eu não estou lá com tanta paciência as 23h de um sábado pra isso... então... vou usar álgebra mesmo.
[tex3]\frac{{\color{Red}\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)}\cdot{\color{Blue}\cossec\(\pi-x\)}}{{\color{YellowOrange}\tg(-x)}\cdot{\color{Green}\cotg(4\pi+x)}}[/tex3]
[tex3]{\color{Red}\boxed{\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)}{\sen\(\frac{\pi}{2}-x\)}=\frac{\sen(x)}{\cos(x)}=\tg(x)}}[/tex3]
[tex3]{\color{Blue}\boxed{\cossec\(\pi-x\)=\frac{1}{\sen(\pi-x)}=\frac{1}{\sen(x)}}}[/tex3]
[tex3]{\color{YellowOrange}\boxed{\tg(-x)=-\tg(x)}}[/tex3]
[tex3]{\color{Green}\boxed{\cotg(4\pi+x)=\cotg(2k+x)=\cotg(x)=\frac{\cos(x)}{\sen(x)}}}[/tex3]
[tex3]\frac{\color{Red}\tg(x)}{\color{YellowOrange}-\tg(x)}\cdot{\color{Blue}\frac{1}{\sen(x)}}\cdot{\color{Green}\frac{\sen(x)}{\cos(x)}}=-\sec(x)[/tex3]
Questão 2, Parte (a)
Note a restrição para [tex3]\sec(x)[/tex3]
[tex3]\sec(k\pi)=\mbox{indeterminado }\forall \,k\in\mathbb{Z}[/tex3]
Com isso:
[tex3]-\sec\(\frac{3x}{2}\)\neq\sec(k\pi)\\\sec\(\frac{3x}{2}+\pi\)\neq\sec(k\pi)\\\frac{3x}{2}+\pi\neq k\pi\\\frac{3x}{2}\neq\pi(k-1)\\\boxed{x\neq\frac{2\pi(k-1)}{3}}[/tex3]
Mas aqui tem um porem. Essa é a resposta do gab, entretanto, o denominador não pode zerar:
[tex3]\frac{\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)\cdot\cossec\(\pi-x\)}{\color{Red}\tg(-x)\cdot\cotg(4\pi+x)}[/tex3]
O correto seria dizer:
[tex3]-\sec\(\frac{3x}{2}\)\neq\sec\(\frac{k\pi}{2}\)\\\sec\(\frac{3x}{2}+\pi\)\neq\sec\(\frac{k\pi}{2}\)\\\frac{3x}{2}+\pi\neq \frac{k\pi}{2}\\\frac{3x}{2}\neq\frac{\pi(k-2)}{2}\\\boxed{x\neq\frac{\pi(k-2)}{3}}[/tex3]
Anyway, eu irei prosseguir citando as duas resposta.
Questão 2, Parte (b)
Apenas verificando os valores para [tex3]k[/tex3] , com uma rápida olhada, para o Gab, seguiria-se
[tex3]k=1\,\,\,\therefore\,\,\,x=0[/tex3]
[tex3]k=2\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{2\pi}{3}[/tex3]
[tex3]k=3\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{4\pi}{3}[/tex3]
E seguindo a minha preposição:
[tex3]k=2\,\,\,\therefore\,\,\,x=0[/tex3]
[tex3]k=3\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{\pi}{3}[/tex3]
[tex3]k=4\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{2\pi}{3}[/tex3]
[tex3]k=5\,\,\,\therefore\,\,\,x=\pi[/tex3]
[tex3]k=6\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{4\pi}{3}[/tex3]
Questão 3
Seguindo a ideia do exercício 2.a, vamos lembra quando há a Indeterminação.
[tex3]\cotg\(\frac{k\pi}{2}\)=\mbox{Indeterminado }\,\forall\,k\in\mathbb{Z}[/tex3]
Logo:
[tex3]\cotg\(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\)=\cotg\(\frac{k\pi}{2}\)\\\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{k\pi}{2}\\\frac{x}{2}=\frac{3k\pi+\pi}{6}\\\boxed{x=\frac{\pi(3k+1)}{3}}[/tex3]
Estudando esses, para [tex3]k=0,1[/tex3]
[tex3]\boxed{\cos(x)=\pm\frac{1}{2}}[/tex3]
NigrumCibum muito obrigado. 3 anos e eu ainda insisto em desenhar errado em trigonometria.
Questão 1
Provar as igualdades a seguir é muito mais fácil graficamente (ironicamente a isso, eu fiquei travado por desenhar errado como na resposta acima), mas eu não estou lá com tanta paciência as 23h de um sábado pra isso... então... vou usar álgebra mesmo.
[tex3]\frac{{\color{Red}\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)}\cdot{\color{Blue}\cossec\(\pi-x\)}}{{\color{YellowOrange}\tg(-x)}\cdot{\color{Green}\cotg(4\pi+x)}}[/tex3]
[tex3]{\color{Red}\boxed{\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)}{\sen\(\frac{\pi}{2}-x\)}=\frac{\sen(x)}{\cos(x)}=\tg(x)}}[/tex3]
[tex3]{\color{Blue}\boxed{\cossec\(\pi-x\)=\frac{1}{\sen(\pi-x)}=\frac{1}{\sen(x)}}}[/tex3]
[tex3]{\color{YellowOrange}\boxed{\tg(-x)=-\tg(x)}}[/tex3]
[tex3]{\color{Green}\boxed{\cotg(4\pi+x)=\cotg(2k+x)=\cotg(x)=\frac{\cos(x)}{\sen(x)}}}[/tex3]
[tex3]\frac{\color{Red}\tg(x)}{\color{YellowOrange}-\tg(x)}\cdot{\color{Blue}\frac{1}{\sen(x)}}\cdot{\color{Green}\frac{\sen(x)}{\cos(x)}}=-\sec(x)[/tex3]
Questão 2, Parte (a)
Note a restrição para [tex3]\sec(x)[/tex3]
[tex3]\sec(k\pi)=\mbox{indeterminado }\forall \,k\in\mathbb{Z}[/tex3]
Com isso:
[tex3]-\sec\(\frac{3x}{2}\)\neq\sec(k\pi)\\\sec\(\frac{3x}{2}+\pi\)\neq\sec(k\pi)\\\frac{3x}{2}+\pi\neq k\pi\\\frac{3x}{2}\neq\pi(k-1)\\\boxed{x\neq\frac{2\pi(k-1)}{3}}[/tex3]
Mas aqui tem um porem. Essa é a resposta do gab, entretanto, o denominador não pode zerar:
[tex3]\frac{\cotg\(\frac{\pi}{2}-x\)\cdot\cossec\(\pi-x\)}{\color{Red}\tg(-x)\cdot\cotg(4\pi+x)}[/tex3]
O correto seria dizer:
[tex3]-\sec\(\frac{3x}{2}\)\neq\sec\(\frac{k\pi}{2}\)\\\sec\(\frac{3x}{2}+\pi\)\neq\sec\(\frac{k\pi}{2}\)\\\frac{3x}{2}+\pi\neq \frac{k\pi}{2}\\\frac{3x}{2}\neq\frac{\pi(k-2)}{2}\\\boxed{x\neq\frac{\pi(k-2)}{3}}[/tex3]
Anyway, eu irei prosseguir citando as duas resposta.
Questão 2, Parte (b)
Apenas verificando os valores para [tex3]k[/tex3] , com uma rápida olhada, para o Gab, seguiria-se
[tex3]k=1\,\,\,\therefore\,\,\,x=0[/tex3]
[tex3]k=2\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{2\pi}{3}[/tex3]
[tex3]k=3\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{4\pi}{3}[/tex3]
E seguindo a minha preposição:
[tex3]k=2\,\,\,\therefore\,\,\,x=0[/tex3]
[tex3]k=3\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{\pi}{3}[/tex3]
[tex3]k=4\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{2\pi}{3}[/tex3]
[tex3]k=5\,\,\,\therefore\,\,\,x=\pi[/tex3]
[tex3]k=6\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{4\pi}{3}[/tex3]
Questão 3
Seguindo a ideia do exercício 2.a, vamos lembra quando há a Indeterminação.
[tex3]\cotg\(\frac{k\pi}{2}\)=\mbox{Indeterminado }\,\forall\,k\in\mathbb{Z}[/tex3]
Logo:
[tex3]\cotg\(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\)=\cotg\(\frac{k\pi}{2}\)\\\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{k\pi}{2}\\\frac{x}{2}=\frac{3k\pi+\pi}{6}\\\boxed{x=\frac{\pi(3k+1)}{3}}[/tex3]
Estudando esses, para [tex3]k=0,1[/tex3]
[tex3]\boxed{\cos(x)=\pm\frac{1}{2}}[/tex3]
Última edição: LostWalker (Dom 07 Mar, 2021 01:04). Total de 2 vezes.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
Mar 2021
07
20:49
Re: Trigonometria
Boa noite!
O gabarito da 1ª questão é apenas sex(x), será que o gabarito está errado?
Já nas questões 2 e 3, não consegui entender muito bem.
Obrigado
O gabarito da 1ª questão é apenas sex(x), será que o gabarito está errado?
Já nas questões 2 e 3, não consegui entender muito bem.
Obrigado
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- Última visita: 07-03-24
Mar 2021
09
00:26
Re: Trigonometria
Observação Importante e Desculpas
nosbier, primeiramente, enquanto eu refazia as contas para sanar suas dúvidas, eu notei um erro super grosserio da minha parte. Quando eu fiz o exercício, eu consegui criar uma mega confusão e pra mim, a questão 1 e 2 se complementavam, mas noto que elas são completamente independentes. Ou seja, toda a questão de verificar o denominador é algo completamente errado. Não há como eu editar e corrigir a resposta já que ela está dada como aceita, mas colocarei corretamente abaixo. Se as questões fossem complementares, a conta sim estaria correta (sob uma outra ressalva e troca que eu fiz, tanto que você pode notar que as contas usam Secante, mas consideram o Domínio e Contradomínio de Cossecante, verdadeiramente uma bagunça o que eu consegui fazer).
Questão 1
nosbier, eu tentei bastante encontrar como transformar o valor em positivo. Talvez algo na minha conta esteja errado, eu procurei, infelizmente eu realmente não achei.
Questão 2
Entendendo o que indetermina a função:
[tex3]\cossec(y)=\frac{1}{\sen(y)}\,\,\,\mbox{Se }\sen(y)=0\mbox{ o denominador zera, Indefinido.}[/tex3]
Contando que:
[tex3]\sen(k\pi)=0\,\,\,\forall\,k\in\mathbb{Z}[/tex3]
Temos que:
[tex3]\cossec\(\frac{3x}{2}\)\neq\cossec\(k\pi\)\\\frac{3x}{2}\neq k\pi\\\boxed{x\neq\frac{2k\pi}{3}}[/tex3]
Lembre-se de Ignorar a parte a seguir em Considerando a minha (errônea) preposição em Questão 2, parte b
Questões 3
Inicialmente, pense no que torna a função não definida
[tex3]\cotg(y)=\frac{1}{\tg(y)}\,\,\,\mbox{Se }\tg(y)=0\mbox{ o denominador zera, Indefinido.}[/tex3]
E como sabemos:
[tex3]\tg\(\frac{k\pi}{2}\)=0\,\,\,\,\,\forall\,k\in\mathbb{Z}[/tex3]
Logo, prosseguimos a conta normalmente, chegando como na minha resposta em:
[tex3]\boxed{x=\frac{\pi(3k+1)}{3}}[/tex3]
Tentando os valores:
[tex3]\boxed{k=0\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{\pi}{3}\)=\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{k=1\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{4\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{4\pi}{3}\)=-\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{k=2\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{7\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{7\pi}{3}\)=\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{k=3\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{10\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{10\pi}{3}\)=-\frac{1}{2}}[/tex3]
Veja que os resultados são sempre [tex3]\boxed{\pm\frac{1}{2}}[/tex3] .
nosbier, primeiramente, enquanto eu refazia as contas para sanar suas dúvidas, eu notei um erro super grosserio da minha parte. Quando eu fiz o exercício, eu consegui criar uma mega confusão e pra mim, a questão 1 e 2 se complementavam, mas noto que elas são completamente independentes. Ou seja, toda a questão de verificar o denominador é algo completamente errado. Não há como eu editar e corrigir a resposta já que ela está dada como aceita, mas colocarei corretamente abaixo. Se as questões fossem complementares, a conta sim estaria correta (sob uma outra ressalva e troca que eu fiz, tanto que você pode notar que as contas usam Secante, mas consideram o Domínio e Contradomínio de Cossecante, verdadeiramente uma bagunça o que eu consegui fazer).
Questão 1
nosbier, eu tentei bastante encontrar como transformar o valor em positivo. Talvez algo na minha conta esteja errado, eu procurei, infelizmente eu realmente não achei.
Questão 2
Entendendo o que indetermina a função:
[tex3]\cossec(y)=\frac{1}{\sen(y)}\,\,\,\mbox{Se }\sen(y)=0\mbox{ o denominador zera, Indefinido.}[/tex3]
Contando que:
[tex3]\sen(k\pi)=0\,\,\,\forall\,k\in\mathbb{Z}[/tex3]
Temos que:
[tex3]\cossec\(\frac{3x}{2}\)\neq\cossec\(k\pi\)\\\frac{3x}{2}\neq k\pi\\\boxed{x\neq\frac{2k\pi}{3}}[/tex3]
Lembre-se de Ignorar a parte a seguir em Considerando a minha (errônea) preposição em Questão 2, parte b
Questões 3
Inicialmente, pense no que torna a função não definida
[tex3]\cotg(y)=\frac{1}{\tg(y)}\,\,\,\mbox{Se }\tg(y)=0\mbox{ o denominador zera, Indefinido.}[/tex3]
E como sabemos:
[tex3]\tg\(\frac{k\pi}{2}\)=0\,\,\,\,\,\forall\,k\in\mathbb{Z}[/tex3]
Logo, prosseguimos a conta normalmente, chegando como na minha resposta em:
[tex3]\boxed{x=\frac{\pi(3k+1)}{3}}[/tex3]
Tentando os valores:
[tex3]\boxed{k=0\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{\pi}{3}\)=\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{k=1\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{4\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{4\pi}{3}\)=-\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{k=2\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{7\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{7\pi}{3}\)=\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\boxed{k=3\,\,\,\therefore\,\,\,x=\frac{10\pi}{3}\,\,\,\therefore\,\,\,\cos\(\frac{10\pi}{3}\)=-\frac{1}{2}}[/tex3]
Veja que os resultados são sempre [tex3]\boxed{\pm\frac{1}{2}}[/tex3] .
Última edição: LostWalker (Ter 09 Mar, 2021 00:42). Total de 2 vezes.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
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