Ensino Médio ⇒ Semelhança de Triângulos Tópico resolvido

[gabrielifce]

A partir de um ponto P interior a um triângulo ABC traçam-se paralelas aos seus lados, como se mostra na figura. Demonstre que [tex3]\frac{a'}{a}+\frac{b'}{b}+\frac{c'}{c}=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a'}{a}+\frac{b'}{b}+\frac{c'}{c}=2[/tex3]

[gabrielifce]

Up

[Auto Excluído (ID:12031)]

dica: tente escrever os lados do triângulo maior (ABC) em função dos lados dos triângulos pequenos e semelhantes. Depois use a semelhança.

[gabrielifce]

Sabe me dizer se tem sacada em semelhança? ? Encontrei os lados do triângulo maior, agora na hora de usar semelhança tá dando uma contas feia demais, pera vou tentar fazer aqui de novo.... put..., ontem tinha encontrado um expressão em que aparecia um 2, agora encontro uma relação que qualquer semelhança que eu faça utilizando o triângulo b, a', c' e qualquer otro triângulo (não usei todos ) tá dando b=c', perai são todos triângulo isósceles?!?!, não quero que faça, mas manda dica aew:D, sou guerreiro vou matar essa questão... Aff'____' eu contrei 3

[gabrielifce]

Up

[gabrielifce]

UpAlguém? !

[petras]

------------------up-----------------

[FelipeMartin]

é a mesma ideia deste problema: viewtopic.php?f=1&t=90827

[petras]

Grato pela indicação FelipeMartin,

[tex3]\mathtt {\triangle ACB \sim \triangle XCY\\
\frac{c'}{c} = \frac{CX}{b} \iff CX = b \cdot \frac{c'}{c}\\
\ De \ modo \ análogo : BW = c \cdot \frac {b'}{b}\\
PW = AX=b-CX\\
PX= AW = c-BW\\
\frac{PW}{NP} =\frac{b}{a}\therefore NP = \frac{a}{b}. PW = \frac {a}{b} (b - \frac {bc'}{c}) = a(1-\frac{c'}{c})\\

\frac{PX}{MP} =\frac{c}{a}\therefore MP = \frac{a}{c}. PX = \frac {a}{c} (c - \frac {cb'}{b}) = a(1-\frac{b'}{b})\\

MP+NP= a'\rightarrow a(2-\frac{c'}{c}-\frac{b'}{b})=a'\\
2-\frac{c'}{c}-\frac{b'}{b}=\frac{a'}{a}\therefore \boxed{\color{red}\frac{a'}{a}+\frac{b'}{b}+\frac{c'}{c}=2}c.q.d.


}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt {\triangle ACB \sim \triangle XCY\\
\frac{c'}{c} = \frac{CX}{b} \iff CX = b \cdot \frac{c'}{c}\\
\ De \ modo \ análogo : BW = c \cdot \frac {b'}{b}\\
PW = AX=b-CX\\
PX= AW = c-BW\\
\frac{PW}{NP} =\frac{b}{a}\therefore NP = \frac{a}{b}. PW = \frac {a}{b} (b - \frac {bc'}{c}) = a(1-\frac{c'}{c})\\

\frac{PX}{MP} =\frac{c}{a}\therefore MP = \frac{a}{c}. PX = \frac {a}{c} (c - \frac {cb'}{b}) = a(1-\frac{b'}{b})\\

MP+NP= a'\rightarrow a(2-\frac{c'}{c}-\frac{b'}{b})=a'\\
2-\frac{c'}{c}-\frac{b'}{b}=\frac{a'}{a}\therefore \boxed{\color{red}\frac{a'}{a}+\frac{b'}{b}+\frac{c'}{c}=2}c.q.d.


}
[/tex3]