Ensino MédioGeometria Plana Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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ALANSILVA
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Geometria Plana

Mensagem não lida por ALANSILVA »

Questão extraída do livro Geometria II do Augusto César Morgado, Eduardo Wagner e Miguel Jorge

Considere um quadrado e um triângulo equilátero de mesmo lado [tex3]a[/tex3] , como mostra a figura. Calcule a área assinalada (hachurada).

Triangulo e quadrado.jpg
Triangulo e quadrado.jpg (41.71 KiB) Exibido 2411 vezes

Última edição: ALANSILVA (Sáb 28 Dez, 2013 23:03). Total de 2 vezes.


No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)

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Juniorhw
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Re: Geometria Plana

Mensagem não lida por Juniorhw »

Olá,
Sem título.png
Sem título.png (10.54 KiB) Exibido 2404 vezes
Observe [tex3]\triangle AED[/tex3] : o ângulo [tex3]D\widehat{E}A=\arctg \frac{1}{2}[/tex3] , logo [tex3]\overline{IB}=\frac{a}{2}[/tex3] . Veja agora que o ângulo [tex3]I\widehat{H}B[/tex3] é externo ao triângulo [tex3]\triangle HBE[/tex3] , logo [tex3]I\widehat{H}B=\frac{\pi}{3}+\arctg \frac{1}{2}[/tex3] . Também temos que [tex3]I\widehat{B}H=\frac{\pi}{6}[/tex3] . Lei dos senos em [tex3]\triangle IHB[/tex3] :

[tex3]\frac{\overline{IB}}{\sen\left(\frac{\pi}{3}+\arctg \frac{1}{2}\right)}=\frac{\overline{HB}}{\sen\left(\pi-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}-\arctg \frac{1}{2}\right)}\\\\\frac{\frac{a}{2}}{\sen\left(\frac{\pi}{3}+\arctg \frac{1}{2}\right)}=\frac{\overline{HB}}{\cos\left(\arctg \frac{1}{2}\right)}\\\\\frac{a}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{1}{2}\right)}=\frac{\overline{HB}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\\\\overline{HB}=\frac{2a}{2\sqrt{3}+1}[/tex3]

Logo a área pedida é:

[tex3]S=\frac{\overline{IB}\cdot \overline{HB}\cdot \sen\frac{\pi}{6}}{2}\\\\S=\frac{\frac{a}{2}\cdot \frac{2a}{2\sqrt{3}+1}\cdot \sen\frac{\pi}{6}}{2}\\\\\boxed{S=\frac{a^2}{4\left(2\sqrt{3}+1\right)}}[/tex3]

Obs: [tex3]\sen(a+b)=\sen a\cdot \cos b+\sen b\cdot \cos a[/tex3]

Abraço.

Última edição: caju (Qua 06 Set, 2017 00:00). Total de 3 vezes.
Razão: TeX --> TeX3



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ALANSILVA
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Re: Geometria Plana

Mensagem não lida por ALANSILVA »

Muito legal sua resolução :D:D:D


No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)

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Marcos
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Re: Geometria Plana

Mensagem não lida por Marcos »

Olá ALANSILVA.Observe uma outra solução:
Triangulo e quadrado.gif
Triangulo e quadrado.gif (3.4 KiB) Exibido 2352 vezes
Triangulo e quadrado sol..gif
Triangulo e quadrado sol..gif (5.48 KiB) Exibido 2352 vezes
[tex3]\left.\begin{array}{clrr}S_{1}+S_{2}=a^2 \\S_{2}+S+S_{3}= \frac{2a\cdot a}{2}=a^2 \end{array}\right\} \Rightarrow[/tex3]

[tex3]\Rightarrow S_{1}+S_{2}=S_{2}+S+S_{3}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow S=S_{1}-S_{3}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow S= \frac{a^2}{4}-\frac{a\cdot x\cdot \sen{60^o}}{2}[/tex3] (1)

[tex3]S= \frac{\frac{a\cdot x\cdot \sen{30^o}}{2}}{2} \Rightarrow x=\frac{4\cdot S}{a\cdot \sen{30^o}}[/tex3] (2)

Substituindo (2) em (1):

[tex3]S= \frac{a^2}{4}-\frac{a\cdot \sen{60^o}\cdot \frac{4\cdot S}{a\cdot \sen{30^o}}}{2}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow S= \frac{a^2}{4}- 2\sqrt{3}\cdot S[/tex3]
[tex3]\Rightarrow S\cdot (1+2\sqrt{3})= \frac{a^2}{4}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \boxed{\boxed{S= \left[ \left(\frac{2\sqrt{3}-1}{44} \right)\cdot a^2 \right] u.a}}[/tex3]

Resposta: [tex3]\left[ \left(\frac{2\sqrt{3}-1}{44} \right)\cdot a^2 \right] u.a[/tex3]
Última edição: caju (Qua 06 Set, 2017 00:02). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3


''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''

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paiva
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Re: Geometria Plana

Mensagem não lida por paiva »

como surgiu esse 44, alguém pode me explicar?



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petras
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Re: Geometria Plana

Mensagem não lida por petras »




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ALANSILVA
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Re: Geometria Plana

Mensagem não lida por ALANSILVA »

petras, a dúvida foi do paiva...srssr


No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)

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petras
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Re: Geometria Plana

Mensagem não lida por petras »

ALANSILVA,

Não respondi a dúvida ...apenas estou mencionando que esta questão já foi postada e resolvida



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petras
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Re: Geometria Plana

Mensagem não lida por petras »

paiva,

[tex3]\Rightarrow S= \frac{a^2}{4 (1+2\sqrt{3})}=\frac{a^2.(1-2\sqrt{3})}{4 (1+2\sqrt{3}).(1-2\sqrt{3})}=\\
\frac{a^2.(1-2\sqrt{3})}{4(-11)}=\frac{a^2.(1-2\sqrt{3})}{-44}=\boxed{\color{red}\frac{a^2.(2\sqrt{3}-1)}{44}}[/tex3]

Última edição: petras (Seg 22 Fev, 2021 15:38). Total de 1 vez.



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