Ensino MédioFunção Senoidal Tópico resolvido

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Vithor
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Função Senoidal

Mensagem não lida por Vithor »

A duração do dia em Juneau, no Alasca, varia ao longo do tempo de modo periódico que pode ser modelado por uma função trigonométrica.
Suponha que a duração do ano (que é o período da mudança) é exatamente de 365 dias. O dia mais longo do ano é 21 de junho, e dura 1096,5 minutos. O dia mais curto do ano ocorre seis meses depois, e dura 382,5 minutos. Observe que 21 de junho ocorre 171 dias após 1 de janeiro.
Encontre a fórmula da função trigonométrica que modela a duração L do dia t dias após 1 de janeiro. Defina a função usando radianos.

Resposta

[tex3]357cos(2PI/365(t-171))+739,5[/tex3]
Porque adotamos como ponto inicial da função o ponto máximo? Sendo que ele é o ponto mais distante, tanto a linha média quanto o ponto mínimo ( que foi o que eu adotei como ponto inicial ) estão mais próximos do dia 1.
Há alguma lógica por trás ou é só uma questão mal escrita mesmo?
Minha resposta foi: [tex3]-357cos(2PI/365(t+11))+739,5[/tex3]

Última edição: Vithor (Dom 13 Dez, 2020 19:49). Total de 1 vez.



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baltuilhe
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Re: Função Senoidal

Mensagem não lida por baltuilhe »

Boa noite!

A função deve entregar a duração do dia em função de t dias após 1 de janeiro.
Em 21 de junho = 1096,5 minutos ==> 1 de janeiro + 171 dias = 21 de junho
6 meses depois = 382,5 minutos

Então, o valor máximo da função está em junho e o mínimo, 6 meses depois. A diferença (amplitude), vale:
[tex3]A=1096,5-382,5=714[/tex3]

O valor 'médio' de duração:
[tex3]t=\frac{1096,5+382,5}{2}=739,5[/tex3]

A diferença entre o máximo e o mínimo, em relação ao valor médio:
[tex3]\frac{714}{2}=357[/tex3]

Então, a nossa função oscila de um valor médio de 739,5 minutos, 357 minutos pra mais, alcançando 1096,5 e 357 minutos para menos, alcançando 382,5.
A função cosseno varia entre -1 e 1, tendo o valor 1 para um ângulo 0. Se fizermos essa função variar entre -357 e 357, a partir do ângulo 0, chegaremos onde queremos.
Para o ponto máximo, t=171, certo? Mas o cosseno é 'máximo' para ângulo = 0. Então o ângulo deve ser algo do tipo t-171, pois ao substituir 171, dará zero. Os ângulos perfazem 2π a cada volta, e o ano tem 365 dias, então:
[tex3]L(t)=357\cos\left(\frac{2\pi}{365}\cdot\left(t-171\right)\right)+739,5[/tex3]

Espero ter ajudado! :)

Última edição: baltuilhe (Sex 22 Jan, 2021 00:07). Total de 1 vez.



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Vithor
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Re: Função Senoidal

Mensagem não lida por Vithor »

baltuilhe, porém eu não poderia inverter a função ( usando um coeficiente negativo para a função cosseno ) e adotar então o ponto mínimo t=-11, que agora seria o ponto máximo visto que inverti a função, como ponto inicial??
Última edição: Vithor (Sex 22 Jan, 2021 00:21). Total de 1 vez.



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baltuilhe
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Jan 2021 22 00:44

Re: Função Senoidal

Mensagem não lida por baltuilhe »

O ponto dado é exatamente o máximo, para t=171.
Se usar o ponto mínimo, não vai bater.
Teste!




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