Ensino Médio ⇒ Análise combinatória 8 Tópico resolvido

[jeabud]

Com os dígitos 1,2,3,4,5,6,7 de quantas formas podemos permutá-los de modo que os números ímpares fiquem sempre em ordem crescente?

Resposta

---

Gab: 210

[MateusQqMD]

Olá, jeabud.

Há [tex3]7![/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7![/tex3]

permutações possíveis dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, das quais se dividem em [tex3]4![/tex3]

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[tex3]4![/tex3]

classes, pois é possível permutar os ímpares de [tex3]4![/tex3]

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[tex3]4![/tex3]

modos. Note que apenas uma dessas classes nos interessa: as que os números ímpares ficam sempre em ordem crescente.

A resposta é [tex3]\frac{7!}{4!} = 210.[/tex3]

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[tex3]\frac{7!}{4!} = 210.[/tex3]

[jeabud]

MateusQqMD, isso q n estou entendendo. Permutação de 7....sendo q ímpares em ordem (só isso q interessa q é 1357).... porém n estou enxergando pq dividi por 4!

[MateusQqMD]

Os números ímpares podem aparecer de [tex3]4![/tex3]

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[tex3]4![/tex3]

modos, correto? Por exemplo, algumas aparições possíveis são as seguintes:

• 1 - 3 - 5 - 7

• 3 - 5 - 1 - 7

• 5 - 1 - 7 - 3

...

Caso todas as permutações possíveis fossem escritas, verificaríamos ao total [tex3]4! = 24[/tex3]

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[tex3]4! = 24[/tex3]

modos de organizar tais números. Porém, do enunciado, apenas a ordem crescente é pedida, daí dividir por [tex3]4!.[/tex3]

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[tex3]4!.[/tex3]

[MateusQqMD]

Vou mostrar outra solução.

Qualquer permutação desses números irá ocupar [tex3]7[/tex3]

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[tex3]7[/tex3]

lugares. Vamos começar escolhendo os lugares dos números ímpares. Há [tex3]C^4_7[/tex3]

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[tex3]C^4_7[/tex3]

modos de isso ser feito. Depois de escolhido esses lugares, é possível arranjar os números ímpares de uma única forma: na ordem crescente!! Agora, basta organizar os números pares nos lugares restantes ([tex3]3![/tex3]

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[tex3]3![/tex3]

modos).

A resposta é [tex3]C^4_7 \times 3! = 210.[/tex3]

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[tex3]C^4_7 \times 3! = 210.[/tex3]

[jeabud]

MateusQqMD, entendi sua segunda resolução,

Mas na primeira q fiquei frustado kkkk

Sim....se fosse todas seria 4! = 24...

Porém só quer nessa ordem: 1 3 5 7 ordem crescente, certo? N é 1 . 1 . 1 . 1 = 1?


Acho q agora eu vi....

Seria 7!/24 (todas as permutações dos números ímpares)...

24 = 4! Dividindo teremos somente as de números ímpares em ordem crescente...

7!4! = 210

Grato

[MateusQqMD]

Isso mesmo, jeabud.

[jeabud]

MateusQqMD, grato