Ensino Médio ⇒ Trigonometria: transformação em produto

[Jonatancosta]

Boa noite,

Transformar em produto a expressão abaixo.

y = sen²x - sen² 3x

Tenho ela resolvida, mas acredito eu que esteja com algum problema... a resposta fornecida é

Resposta

---

y = - sen4x.sen2x

.

Alguém pode ajudar?

Obrigado!

[Tassandro]

Jonatancosta,



Seja [tex3]y=\sin^2x-\sin^23x[/tex3]

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[tex3]y=\sin^2x-\sin^23x[/tex3]

Como sabemos que [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b),[/tex3]

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[tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b),[/tex3]

podemos escrever que
[tex3]y=(\sin x+\sin3x)(\sin x-\sin3x)[/tex3]

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[tex3]y=(\sin x+\sin3x)(\sin x-\sin3x)[/tex3]

Pelas relações de Prostapherisis,
[tex3]\sin p+\sin q=2\sin(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})[/tex3]

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[tex3]\sin p+\sin q=2\sin(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})[/tex3]

Logo, [tex3]\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos (-x),\text{ mas }\cos(-x)=\cos x\implies \sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x[/tex3]

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[tex3]\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos (-x),\text{ mas }\cos(-x)=\cos x\implies \sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x[/tex3]

Agora, usando que [tex3]\sin p-\sin q=2\sin(\frac{p-q}{2})\cos(\frac{p+q}{2}),[/tex3]

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[tex3]\sin p-\sin q=2\sin(\frac{p-q}{2})\cos(\frac{p+q}{2}),[/tex3]

temos que
[tex3]\sin x-\sin3x=2\sin (-x)\cos2x,\text{ mas }\sin(-x)=-\sin x\implies \sin x-\sin 3x=-2\sin x\cos2x[/tex3]

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[tex3]\sin x-\sin3x=2\sin (-x)\cos2x,\text{ mas }\sin(-x)=-\sin x\implies \sin x-\sin 3x=-2\sin x\cos2x[/tex3]

Logo, [tex3]y=2\sin2x\cos x\cdot(-2\sin x\cos2x)[/tex3]

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[tex3]y=2\sin2x\cos x\cdot(-2\sin x\cos2x)[/tex3]

Usando que [tex3]\sin2x=2\sin x\cos x[/tex3]

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[tex3]\sin2x=2\sin x\cos x[/tex3]

e que a multiplicação é comutativa, temos que:
[tex3]\boxed{\boxed{y=-\sin4x\sin2x}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{y=-\sin4x\sin2x}}[/tex3]

[Jonatancosta]

Obrigado.

No entanto, estou travado no seguinte:

y = [ 2 sen2x cox ] [ -2senx cos2x]

Eu sei que sen2x = 2senx cosx

y = [ 2.2senx cosx cosx ] [ -2senx cos2x]

y = [ 4senx cos²x] [ -2senx cos2x]

Obrigado pela ajuda!!

[Tassandro]

y = [ 2 sen2x cox ] [ -2senx cos2x]

Vamos reescrever como
[tex3]y=-2\sin2x\cos2x×2\sin x\cos x=-\sin4x×\sin2x[/tex3]

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[tex3]y=-2\sin2x\cos2x×2\sin x\cos x=-\sin4x×\sin2x[/tex3]