Ensino Médio

Possuo apenas uma dúvida simples:
Por favor, detalhem o raciocínio. Acredito ter feito algum erro bobo.

Converta x^n - 1 para a base x.

Resposta

n vezes o algarismo x-1

Se temos por exemplo [tex3](123)_{5}[/tex3] , significa que, em base 10, temos o número [tex3]1.5^2+2.5^1+3.5^0=38[/tex3]

E se eu quiser converter 38 para a base 5? Então dividimos sucessivamente pelas maiores potências de 5, em ordem decrescente, até que não seja mais possível repetir o processo. Isto é:
[tex3]38=1.5^2+13[/tex3]
[tex3]13=2.5^1+3[/tex3]
[tex3]3=1.5^0+3[/tex3]
E aí apareceu o [tex3](123)_5[/tex3]

Então vamos aplicar a ideia. Comece percebendo que a maior potência que pode dividir o número dado é [tex3]x^{n-1}[/tex3]

Você poderia pensar em: [tex3]x^{n}-1=x.x^{n-1}-1[/tex3] , mas isso não serve para nós, pois o 1 está subtraindo, e precisamos ter um resto positivo.

Então basta tomar [tex3]x^n-1=(x-1).x^{n-1}+(x^{n-1}-1)[/tex3] , de modo que o resto é [tex3]x^{n-1}-1[/tex3] , que é divisível por [tex3]x^{n-2}[/tex3]

Analogamente, teremos [tex3]x^{n-1}-1=(x-1).x^{n-2}+(x^{n-2}-1)[/tex3]

E assim sucessivamente, até que:

[tex3]x^{2}-1=(x-1).x+(x-1)[/tex3]

E note que [tex3]x-1[/tex3] não pode ser dividido por nenhuma potência de x e deixar um resto inteiro positivo, então este é o nosso último algarismo.

Concluindo, obtivemos, então, o número [tex3]([x-1][x-1]...[x-1])_x[/tex3] . E quantas vezes esse algarismo [tex3][x-1][/tex3] aparece? Ora, de n até 2, temos [tex3]n-1[/tex3] divisões, restando em [tex3]n-1[/tex3] algarismos. Mas não podemos esquecer de mais um algarismo que vem do resto. Então são n algarismos de [tex3]x-1[/tex3] .

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