Ensino Médio ⇒ Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[Gwynbleidd]

Resolva a equação dada a seguir:
[tex3]2senx+3cosx=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2senx+3cosx=1[/tex3]

Resposta

---

[tex3]x=2arctg\dfrac{1\pm\sqrt3}{2}+2k\pi,k\in Z[/tex3]

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[tex3]x=2arctg\dfrac{1\pm\sqrt3}{2}+2k\pi,k\in Z[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Equação clássica do tipo a.sen(x) + b.cos(x) = c , procederemos da seguinte forma;

Fazendo [tex3]tg\left(\frac{x}{2}\right)=t[/tex3]

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[tex3]tg\left(\frac{x}{2}\right)=t[/tex3]

, obtemos [tex3]sen (x)=\frac{2t}{1+t^2}[/tex3]

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[tex3]sen (x)=\frac{2t}{1+t^2}[/tex3]

e [tex3]cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex3]

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[tex3]cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex3]

, substituindo esses valores na equação dada, resulta,

[tex3]\frac{4t}{1+t^2}+\frac{3-3t^2}{1+t^2}=1[/tex3]

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[tex3]\frac{4t}{1+t^2}+\frac{3-3t^2}{1+t^2}=1[/tex3]

, que desenvolvendo , obtemos , 2t² - 2t - 1 = 0.

Daí, encontramos [tex3]t=\frac{1±\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]t=\frac{1±\sqrt{3}}{2}[/tex3]

, então

[tex3]tg\left(\frac{x}{2}\right)=t⟺\frac{x}{2}=arc \ tg(t)[/tex3]

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[tex3]tg\left(\frac{x}{2}\right)=t⟺\frac{x}{2}=arc \ tg(t)[/tex3]

→

[tex3]\frac{x}{2}=arc \ tg\left(\frac{1±\sqrt{3}}{2}\right)+kπ[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}=arc \ tg\left(\frac{1±\sqrt{3}}{2}\right)+kπ[/tex3]

Logo,

[tex3]x=2arc \ tg\left(\frac{1±\sqrt{3}}{2}\right)+2kπ[/tex3]

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[tex3]x=2arc \ tg\left(\frac{1±\sqrt{3}}{2}\right)+2kπ[/tex3]

Como b + c = 4 ≠ 0 , segue que a solução x = π + 2kπ não satisfaz. Portanto,

[tex3]S=\{x\in \mathbb{R}/x=2arc \ tg\left(\frac{1±\sqrt{3}}{2}\right)+2kπ , k\in Z\}[/tex3]

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[tex3]S=\{x\in \mathbb{R}/x=2arc \ tg\left(\frac{1±\sqrt{3}}{2}\right)+2kπ , k\in Z\}[/tex3]

Bons estudos!

[Gwynbleidd]

Como b + c = 4 ≠ 0 , segue que a solução x = π + 2kπ não satisfaz.

Pode tentar explicar essa parte?

[Cardoso1979]

Como b + c = 4 ≠ 0 , segue que a solução x = π + 2kπ não satisfaz.

Pode tentar explicar essa parte?

Para este tipo de equação, devemos sempre considerar como uma possível solução x = π + 2kπ, porém , neste caso , os valores de x = π + 2kπ não constituem solução dessa equação. Fazendo uma verificação direta, comprovaremos o que eu disse, veja;

Pondo sen (x) = 0 e cos (x) = - 1 na equação dada , temos que:

2.0 + 3.( - 1 ) = - 3 ≠ 1.


Abraços!