Ensino Médio

Mensagem não lidapor **ismaelmat** » 02 Nov 2017, 11:12 · Mensagem não lida por **ismaelmat** » 02 Nov 2017, 11:12

87.540 - Em uma competição de boliche, 14 bolas, com 20cm de diâmetro, foram dispostas no formato de uma pirâmide quadrangular regular, conforme a figura. A altura dessa pilha é:

: Screen Shot 2017-11-02 at 11.30.46.png (29.02 KiB) Exibido 1489 vezes

a) [tex3]20\sqrt{2}cm[/tex3]

b) [tex3]20(1 + \sqrt{2})cm[/tex3]

c) [tex3]40 cm[/tex3]

d) [tex3]40,8cm[/tex3]

e) [tex3]12\sqrt{3}cm[/tex3]

Resposta

b

Mensagem não lidapor **joaopcarv** » 13 Nov 2017, 01:39 · Mensagem não lida por **joaopcarv** » 13 Nov 2017, 01:39

Boa noite pós ENEM

, ismaelmat

Observe este anexo [tex3]\Rrightarrow[/tex3]

: piramidesesferas.jpg (65.58 KiB) Exibido 1465 vezes

Veja que, no dito arranjo esférico, eu liguei raios das bolas de boliche [tex3]\Bigg(R \ \rightarrow \ \frac{20}{2} \ = \ 10 \ cm \Bigg)[/tex3] mostrando com fica uma das [tex3]4[/tex3] faces triangulares da pirâmide formada.

Sendo [tex3]L_{(l)}[/tex3] laterais os lados, veja que temos, formando-os, [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]L_{(l)} \ = \ R \ + \ 2 \ \cdot \ R \ + \ R \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]L_{(l)} \ = \ 4 \ \cdot \ \underbrace{10 \ cm}_{R} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{L_{(l)} \ = \ 40 \ cm} \ \Rightarrow[/tex3] Lados das faces triangulares equiláteras da pirâmide formada!

Além disso, as "bases" dos [tex3]\triangle[/tex3] formam o quadrado de lado [tex3]L_{(b)} \ = \ L_{(l)} \ = \ 40 \ cm.[/tex3]

Veja ainda que as faces são iguais e dispostas regularmente (não deu para desenhar todas as bolas de boliche no desenho, ficaria muito ilegível).

Temos uma pirâmide regular quadrada de lados laterais e da base iguais de valor [tex3]L \ = \ 40 \ cm.[/tex3]

A altura da pirâmide [tex3]H_{(pir)} \ \perp[/tex3] plano da base finca-se no centro da mesma (quadrada). [tex3]H_{(pir)}[/tex3] é "conectada" às arestas laterais. Veja que, na base, ao "conectarmos" o centro da mesma em uma aresta lateral, temos a semi-diagonal da base quadrada [tex3]Sd_{(b \ \square)}[/tex3].

Sendo [tex3]Sd_{(b \ \square)} \ \perp \ H_{(pir)}[/tex3] , formamos um Pitágoras :

[tex3]L^2 \ = \ Sd_{(b \ \square)}^2 \ + \ H_{(pir)}^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]40^2 \ = \ \Bigg(\underbrace{\frac{\cancelto{40}{L} \ \cdot \sqrt{2}}{2}}_{semi-diagonal}\Bigg)^2 \ + \ H_{(pir)}^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]1600 \ = \ \cancelto{800}{\frac{1600}{2}} \ + \ H_{(pir)}^2 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]H_{(pir)}^2 \ = \ \cancelto{800}{(1600 \ - \ 800)} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]H_{(pir)}^2 \ = \ 800 \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]H_{(pir)} \ = \ \sqrt{800} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{H_{(pir)} \ = \ 20 \ \cdot \ \sqrt{2} \ cm} \ \rightarrow[/tex3] Altura piramidal!

Mas veja que no desenho, deixei indicado que, na pilha, ainda faltam dois raios a serem considerados para se compor a altura [tex3]H[/tex3] da dita pilha. Logo [tex3]\Rrightarrow[/tex3]

[tex3]H \ = \ 2 \ \cdot \ R \ + \ H_{(pir)} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]H \ = \ 2 \ \cdot \ 10 \ + \ 20 \ \cdot \ \sqrt{2} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]H \ = \ 20 \ + \ 20 \ \cdot \ \sqrt{2} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{H \ = \ 20 \ \cdot \ (1 \ + \ \sqrt{2}) \ cm}} \ \Rrightarrow[/tex3] Altura da pilha!

Mensagem não lidapor **ismaelmat** » 13 Nov 2017, 12:09 · Mensagem não lida por **ismaelmat** » 13 Nov 2017, 12:09

joaopcarv esse enem foi triste mesmo ciências da natureza veio bem brocado e matemática errei cada questão besta e extremamente fácil só por falta de atenção!

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