Ensino Médio ⇒ Números complexos Tópico resolvido

[gustavo2020]

Achar o produto da multiplicação
[tex3]\left[1+\left(\frac{1+i}{2}\right)\right]\left[1+\left(\frac{1+i}{2}\right)^2\right]\left[1+\left(\frac{1+i}{2}\right)^{2^2}\right]...\left[1+\left(\frac{1+i}{2}\right)^{2^n}\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left[1+\left(\frac{1+i}{2}\right)\right]\left[1+\left(\frac{1+i}{2}\right)^2\right]\left[1+\left(\frac{1+i}{2}\right)^{2^2}\right]...\left[1+\left(\frac{1+i}{2}\right)^{2^n}\right][/tex3]

[A13235378]

Olá:

Multiplica o produto por :

[tex3]1-\left(\frac{1+i}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-\left(\frac{1+i}{2}\right)[/tex3]

e depois divida pelo mesmo.

Usando diferença de quadrados:

No final sobrará:

[tex3]\left[1-\left(\frac{1+i}{2}\right)^{2^{n+1}}\right]/(1-\left(\frac{i+1}{2}\right))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left[1-\left(\frac{1+i}{2}\right)^{2^{n+1}}\right]/(1-\left(\frac{i+1}{2}\right))[/tex3]

A parte de baixo ficará

[tex3]\frac{1-i}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1-i}{2}[/tex3]

Passando o 2 para cima e multiplicando cima e embaixo por (1+ i):

Perceba que no final esse 2 que passou para cima se cancelará com (1+i)(1- i)

Logo , temos:

[tex3]\left[1-\left(\frac{1+i}{2}\right)^{2^{n+1}}\right](1+i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left[1-\left(\frac{1+i}{2}\right)^{2^{n+1}}\right](1+i)[/tex3]

[tex3]\left[1- \frac{((1+i)^2)^{2^{n}}}{(2)^{2^{n+1}}}\right](1+i)=\left[1- \frac{(2i)^{2^{n}}}{(2)^{2^{n+1}}}\right](1+i)=\left[1- \frac{(-4)^{2^{n-1}}}{(2)^{2^{n+1}}}\right](1+i)=\left[1- \frac{(4)^{2^{n-1}}}{(2)^{2^{n+1}}}\right](1+i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left[1- \frac{((1+i)^2)^{2^{n}}}{(2)^{2^{n+1}}}\right](1+i)=\left[1- \frac{(2i)^{2^{n}}}{(2)^{2^{n+1}}}\right](1+i)=\left[1- \frac{(-4)^{2^{n-1}}}{(2)^{2^{n+1}}}\right](1+i)=\left[1- \frac{(4)^{2^{n-1}}}{(2)^{2^{n+1}}}\right](1+i)[/tex3]

[tex3]\left[1- \frac{(2)^{2^{n}}}{(2)^{2^{n+1}}}\right](1+i)=\left[1- \frac{1}{(2)^{2^{n}}}\right](1+i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left[1- \frac{(2)^{2^{n}}}{(2)^{2^{n+1}}}\right](1+i)=\left[1- \frac{1}{(2)^{2^{n}}}\right](1+i)[/tex3]

Se quiser simplificar mais , fique a vontade. Qualquer duvida estou a disposiçao.

[Deleted User 23699]

Questão 281 do Lidski. Solução diferente da fornecida no livro, muito interessante.