)
Demonstrar e justificar as equações relacionadas às reações de desintegração (reações de velocidade de 1ª Ordem), tais como a Equação da Velocidade de Desintegração e como a relação entre a Vida-Média, a Constante de Desintegração Radioativa e o Tempo de Meia-Vida (ou de Semidesintegração) .
Equações demonstradas neste tópico:
Resposta
[tex3]a)\;\;\;\;v(t)=c.n(t)[/tex3]
[tex3]b)\;\;\;\;n(t)=n_0.e^{-ct}[/tex3]
[tex3]c)\;\;\;\;t_{1/2}=\frac{\ln (2)}{c}[/tex3]
[tex3]d)\;\;\;\;V_m=\frac{1}{c}[/tex3]
Resposta
[tex3]b)\;\;\;\;[/tex3] Noção intuitiva de Equações Diferenciais Ordinárias Separáveis
[tex3]c)\;\;\;\;[/tex3] Entender o conteúdo abordado em [tex3]b)\;[/tex3] e saber realizar operações com logaritmos
[tex3]d)\;\;\;\;[/tex3] Noção prévia de Cálculo Integral, da definição da Integral através dos limites bem como a compreensão do Método de Integração por Partes e da Regra de L'Hospital.
Considere uma espécie química radioativa [tex3]A[/tex3] , em quantidade de matéria inicial, em mols, de [tex3]n_0[/tex3] , que começa a sofrer processo de desintegração a partir de um tempo [tex3]t_0=0[/tex3] .
Admita [tex3]n(t)\;\;[/tex3] como sendo a quantidade de matéria desse emissor e ([tex3]v(t)=\left|\frac{dn(t)}{dt}\right|=-\frac{dn(t)}{dt}[/tex3] ) , sua taxa instantânea (ou velocidade instantânea) de desintegração em um tempo determinado tempo [tex3]t\;\;[/tex3] após [tex3]t_0[/tex3] .
Demonstrações:
[tex3]a)[/tex3]
Resposta
Uma vez que o processo de desintegração radioativa ocorre aleatoreamente entre os átomos da espécie [tex3]A[/tex3] , é natural esperar que [tex3]v(t)\propto n(t)[/tex3] , já que quanto maior a quantidade de átomos do emissor, maior a probabilidade de que um desses átomos venha a sofrer uma reação de desintegração. Portanto, podemos concluir, e confirmar empiricamente, que:
[tex3]a)\;\;\;\;v(t)=c.n(t)[/tex3] , onde [tex3]c\;\;[/tex3] é a constante de proporcionalidade entre a própria quantidade de matéria do emissor e o oposto de sua taxa de variação, que deve ser obtida através de experimentos.
Resposta
Esse modelo já havia sido previsto pela cinética química, uma vez que a reação de desintegração é uma reação de velocidade de 1ª ordem.
Resposta
Através da equação obtida, podemos encontrar a função [tex3]n(t)\;\;[/tex3] se resolvermos a Equação Diferencial nela:
[tex3]v(t)=c.n(t)[/tex3]
[tex3]-\frac{dn(t)}{dt}=c.n(t)[/tex3]
[tex3]\frac{1}{n}dn=-cdt[/tex3]
[tex3]\int\limits_{n_0}^{n(t)}\frac{1}{n}dn=-c\int\limits_{t_0=0}^{t}dt[/tex3]
[tex3]\ln \left|n(t)\right|-\ln \left|n_0\right|=-c(t-0)[/tex3]
[tex3]\ln \left|\frac{n(t)}{n_0}\right|\rightarrow=-ct[/tex3]
Portanto,
[tex3]b)\;\;\;\;n(t)=n_0.e^{-ct}[/tex3]
Resposta
Como a quantidade de matéria do emissor varia segundo uma função exponencial decrescente, é esperando que sofra reduções de fatores iguais em intervalos de tempos iguais. Assim, afim de saber o intervalo de tempo [tex3]t_{1/2}\;\;[/tex3] necessário para que [tex3]n(t)\;\;[/tex3] decaia de um fator de 2 (isto é, o tempo necessário para que [tex3]n(t)\;\;[/tex3] se torne [tex3]\frac{n(t)}{2}[/tex3] ) devemos realizar algumas manipulações na equação encontrada :
Temos que: [tex3]e=2^{\log_{e}{2}}=2^{\frac{1}{\log_{2}{e}}}=2^{\frac{1}{\ln (2)}}[/tex3]
Substituindo o valor de [tex3]e\;\;[/tex3] na equação [tex3]b)[/tex3] , temos:
[tex3]n(t)=n_0.e^{-ct}=n_0.\(2^{\frac{1}{\ln (2)}}\)^{-ct}=n_0.2^{\frac{-ct}{\ln (2)}}=n_0.\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{ct}{\ln (2)}}[/tex3]
Observe que se dividirmos [tex3]\Delta t[/tex3] pelo tempo de Meia-Vida ([tex3]t_{1/2}[/tex3] ), o resultado indicaria o número de vezes que o emissor teve sua quantidade de matéria (número de mols) reduzido pela metade. O mesmo significado que o expoente [tex3]\frac{ct}{\ln (2)}[/tex3] , na equação [tex3]n_0=n_0.\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{ct}{\ln (2)}}\;\;[/tex3] possui.
Logo:
[tex3]\frac{\Delta t}{t_{1/2}}=\frac{ct}{\ln (2)}[/tex3]
[tex3]\frac{t}{t_{1/2}}=\frac{ct}{\ln (2)}[/tex3]
Assim;
[tex3]c)\;\;\;\;t_{1/2}=\frac{\ln (2)}{c}[/tex3]
Resposta
Agora vamos ao conceito mais complexo, o de Vida-Média: representa a média do tempo [tex3]V_m\;\;[/tex3] que levou para cada átomo sofrer decaimento, ou o tempo mais provável que levará para um átomo aleatório sofrer desintegração, enfim, é a média de todos os tempos que todos os átomos de uma espécie química levaram para sofrer uma desintegração. Mostraremos que este número é uma constate para cada espécie. Suponha que após [tex3]m\;\;[/tex3] intervalos de desintegrações sucessivas, as espécies químicas se esgotem de forma que durante [tex3]k[/tex3] -ésimo intervalo do decaimento, em um tempo [tex3]t_k[/tex3] , um número [tex3]n_k\;\;[/tex3] de mols da amostra, de um total de [tex3]n_0\;\;[/tex3] iniciais, sofrem desintegração. Dessa forma, a Vida-Média seria aproximada pela seguinte média ponderada:
[tex3]V_m\approx\frac{\sum_{k=1}^{m}n_k.t_k}{n_0}[/tex3]
Se dividirmos, então, o tempo [tex3]T\;\;[/tex3] total necessário para que a amostra encerre seu decaimento (supondo que isso ocorra) em [tex3]m\;\;[/tex3] intervalos de tempo [tex3]\Delta t[/tex3] , então o número de átomos [tex3]n_k\;\;[/tex3] que sofreram desintegração no instante [tex3]t_k\;\;[/tex3] se aproxima de [tex3]n_k \approx v(t_k).\Delta t \;\;[/tex3] e [tex3]V_m\;\;[/tex3] se aproxima para:
[tex3]V_m\approx\frac{\sum_{k=1}^{m}v(t_k).t_k.\Delta t }{n_0}[/tex3]
Note que esse modelo ainda não contempla o fato de que, uma vez que a quantidade de matéria da espécie é uma função exponencial decrescente do tempo, ela se aproxima de zero, mas, devido ao comportamento assintótico, nunca de tornará nula. Logo, haverá infinitos decaimentos e o tempo total [tex3]T[/tex3] , mencionado anteriormente, se tornaria tenderia ao infinito.
Para que a aproximação se torne mais eficiente, deveríamos tomar o número de intervalos [tex3]m\;\;[/tex3] excessivamente grande, enquanto tomamos os intervalos de tempos [tex3]\Delta t\;\;[/tex3] extremamente pequenos, fazendo com que a velocidade instantânea de desintegração [tex3]v(t_k)\;\;[/tex3] no instante [tex3]t_k\;\;[/tex3] se aproximasse da velocidade média durante este intervalo.
Nota:Esse tipo de raciocínio é extremamente utilizado no Cálculo Infinitesimal para se definir Integrais.
Portanto, teríamos de o valor exato de [tex3]V_m\;\;[/tex3] se fizéssemos [tex3]m\;\;[/tex3] tender ao infinito:
[tex3]V_m=\lim_{m \rightarrow \infty } \frac{\sum_{k=1}^{m}v(t_k).t_k.\Delta t}{n_0}=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{v(t).t}{n_0}.dt[/tex3]
Substituindo em [tex3]v(t)\;\;[/tex3] o seu valor determinado pela equação [tex3]a)\;\;[/tex3] , e o de [tex3]n(t)[/tex3] por seu valor definido na equação [tex3]b)\;[/tex3] , temos:
[tex3]V_m=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{c.v(t).t}{n_0}dt=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{c.n_0e^{-ct}.t}{n_0}dt=c\int\limits_{0}^{\infty}e^{-ct}tdt[/tex3]
Resposta
A integral deve ser resolvida pelo Método de Integração por Partes:
[tex3]uv=\int udv + \int vdu[/tex3]
Fazendo-se [tex3]u=e^{-ct}[/tex3] , portanto [tex3]du=-ce^{-ct}dt[/tex3]
e fazendo-se [tex3]v=t[/tex3] , portanto [tex3]dv=dt[/tex3]
Temos:
[tex3]e^{-ct}.t=\int e^{-ct}dt +\int t(-ce^{-ct})dt=[/tex3]
[tex3]e^{-ct}.t=\frac{e^{-ct}}{-c}-c\int e^{-ct}dt[/tex3]
[tex3]c\int e^{-ct}dt=\frac{-e^{-ct}}{c}-e^{-ct}t[/tex3]
[tex3]\int e^{-ct}dt=\frac{-e^{-ct}}{c}\(t+\frac{1}{c}\)[/tex3]
Portanto:
[tex3]V_m = c\int\limits_{0}^{\infty}e^{-ct}tdt = c \[ \frac{-e^{-ct}}{c} \(t+\frac{1}{c}\) \]\bigg|^{\infty}_0= \[e^{-ct}\(t+\frac{1}{c}\)\]\bigg|^{0}_\infty[/tex3]
[tex3]V_m=\[e^{0}\(0+\frac{1}{c}\)\]-\lim_{t \rightarrow \infty } \[e^{-ct}\(t+\frac{1}{c}\)\][/tex3]
O limite acima deve ser resolvido através da Regra de L'Hospital, uma vez que represeta uma intedeterminação do tipo [tex3]\frac{0}{0}[/tex3] :
[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty } \[e^{-ct}\(t+\frac{1}{c}\)\]=\lim_{t \rightarrow \infty } \(\frac{t+\frac{1}{c}}{e^{-ct}}\)=\lim_{t \rightarrow \infty } \frac{\(t+\frac{1}{c}\)'}{(e^{-ct})'}=\lim_{t \rightarrow \infty } \frac{1}{-ce^{-ct}}=\frac{1}{-\infty }[/tex3]
Portanto,
[tex3]\lim_{t \rightarrow \infty } \[e^{-ct}\(t+\frac{1}{c}\)\]=0[/tex3]
Voltando a [tex3]V_m[/tex3] , temos:
[tex3]V_m=\[e^{0}\(0+\frac{1}{c}\)\]-\lim_{t \rightarrow \infty } \[e^{-ct}\(t+\frac{1}{c}\)\]=\frac{1}{c}-0[/tex3]
Logo,
[tex3]d)\;\;\;\;V_m=\frac{1}{c}[/tex3]
