)
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Mostre que a concentração final [tex3][A]_t[/tex3] de um reagente com constante de velocidade [tex3]k[/tex3] após um intervalo de tempo [tex3]t[/tex3] para leis de velocidades de 1º e 2º ordem são dadas por:
[tex3][A]_t \, = \, [A]_0 \cdot e^{-kt} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, e \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, [A]_t \, = \, \frac{[A]_0}{1 \, + \, kt[A]_0}[/tex3]
respectivamente, onde [tex3][A]_0[/tex3]
representa a concentração inicial do reagente [tex3]A[/tex3]
.Demonstração
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A velocidade [tex3]v_1[/tex3] para a lei de primeira ordem de um reagente genérico [tex3]A[/tex3] é dado por:
[tex3]v_1 \, = \, - \, \frac{\text{d}[A]}{\text{d}t} \, = \, k [A] \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \frac{\text{d}[A]}{[A]} \, = \, -k \text{d} t \,\,\,\, (I)[/tex3]
Para determinar a variação de concentração desse reagente em um intervalo [tex3]t[/tex3]
devemos integrar os dois membros de [tex3](I)[/tex3]
de [tex3]0[/tex3]
à [tex3]t[/tex3]
:
[tex3]\int\limits_{[A]_0}^{[A]_t} \frac{\text{d}[A]}{[A]} \, = \, -k \int\limits_{0}^{t} \text{d}t \, = \, -kt \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \left(\ln [A]_t \, + \, C\right) \, - \, \left(\ln[A]_0 \, + \, C\right) \, = \, -kt \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \ln\frac{[A]_t}{[A]_0} \, = \, -kt \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{[A]_t \, = \, [A]_0 e^{-kt}}}[/tex3]
Da mesma forma, temos que a a lei de velocidade de segunda ordem para o mesmo reagente genérico [tex3][A][/tex3]
é dado por:
[tex3]v_2 \, = \, - \frac{\text{d}[A]}{\text{d}t} \, = \, k [A]^{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \frac{\text{d}[A]}{[A]^{2}} \, = \, -k\text{d}t \,\,\,\,\, (II)[/tex3]
Integrando ambos os lados da equação [tex3](II)[/tex3]
de [tex3]0[/tex3]
a [tex3]t[/tex3]
, vem:
[tex3]\int\limits_{[A]_0}^{[A]_t} \frac{\text{d}[A]}{[A]^{2}} \, = \, -k \int\limits_{0}^{t} \text{d} t \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \left(-\frac{1}{[A]_t \, + \, C}\right) \, - \, \left(-\frac{1}{[A]_0} \, + \, C \right) \, = \, -kt \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \\ \,\,\, \Rightarrow \,\,\, - \frac{1}{[A]_t} \, + \, \frac{1}{[A]_0} \, = \, - kt \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{[A]_t \, = \, \frac{[A]_0}{1 \, + \, kt [A]_0}}}[/tex3]
Conforme queríamos demonstrar.----------------------------------------------
Comentário
Muitas questões de análise das velocidades de reações com espécies químicas em equilíbrio exigem a análise de gráficos de funções do tipo [tex3]y \, = \, p \cdot e^{x}[/tex3] que é justificado conforme a demonstração acima (diante disso, ninguém vai pensar que esses gráficos caíram do céu
).Grande abraço à todos!
