Demonstrações ⇒ Demonstração - modelo atômico de Bohr

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emanuel9393
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Jul 2012 27 02:10

Demonstração - modelo atômico de Bohr

Mensagem não lidapor emanuel9393 » Sex 27 Jul, 2012 02:10

Mensagem não lida por emanuel9393 »

------------------------------------------------------------------------------
Hipótese:
Considere um átomo de hidrogênio representado abaixo. Sendo e, \hbar, k_{0} e m a carga elétrica elementar, o momento angular do elétron, a constante eletrostática do vácuo e a massa do elétron.
Demonstração 3.JPG
Demonstração 3.JPG (6.2 KiB) Exibido 3994 vezes
Mostre que o raio de Bohr (r_{b}) e a energia mecânica (E_{m}) do elétron são dados por:
r_{b} \, = \, \frac{\hbar^{2}}{m \cdot k_{o} \cdot e^{2}} e E_{m} \, = \, - \, \frac{m \cdot k_{0}^{2} \cdot e^{4}}{2 \cdot \hbar^{2}} \cdot \left(\frac{1}{n}\right) onde n \, \in \, \mathbb{N}_{+}.
-------------------------------------------------------------------------------
Demonstração:
A força de atração eletrostática é a resultante centrípeta. Nesse caso, podemos fazer
Demosntração 3.1.JPG
Demosntração 3.1.JPG (5.56 KiB) Exibido 3994 vezes
F_{e} \, = \, \frac{m \cdot v^{2}}{r_{b}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}^{2}} \, = \, \frac{m \cdot v^{2}}{r_{b}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}} \, = \, m \cdot v^{2} \,\,\, (I)
Da definição de momento angular de uma partícula elementar em um raio de Bohr, tiramos:
m \cdot v \cdot r_{b} \, = \, \hbar \,\,\, \Rightarrow \,\,\, v \, = \, \frac{\hbar}{m \cdot r_{b}} \,\,\, (II)
Substituindo (II) em (I), encontramos:
k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}} \, = \, m \cdot v^{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}} \, = \, m \cdot \frac{\hbar^{2}}{m^{2} \cdot r_{b}^{2}} \\ \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{r_{b} \, = \, \frac{\hbar^{2}}{m \cdot k_{0} \cdot e^{2}}}}
A energia mecânica total do elétron em uma orbital n qualquer é dada por:
E_{m} \, = \, E_{c} \, + \, E_{p} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, E_{m} \, = \, \frac{m \cdot v^{2}}{2} \, + \, k_{0} \cdot \frac{e \cdot \left(- \, e\right)}{r_{n}} \,\,\,\,\,\,\, (III)
De (I) e (III), tiramos:
E_{m} \, = \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{n}} \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{ r_{n}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{n}} \,\,\,\,\, (IV)
Conforme os postulados de Bohr, temos:
r_{n} \, = \, n^{2} \cdot r_{b} \,\,\, \left(n \, \in \, \mathbb{N}_{+}\right)\,\,\,\,\,\,\, (V)
De (V) e (IV), tiramos:
E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{n}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{b}} \cdot \left(\frac{1}{n^{2}}\right)
Substituindo o valor de r_{b} encontrado na expressão acima, vem:
E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 } \cdot \left(\frac{m \cdot k_{0} \cdot e^{2}}{\hbar^{2}}\right)\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{ E_{m} \, = \, - \, \frac{m \cdot k_{0}^{2} \cdot e^{4}}{2 \cdot \hbar^{2}} \cdot \left(\frac{1}{n}\right)}}
Essa foi uma forma que eu criei de demonstrar os postulados de Bohr sem utilizar mecânica estatística.
Espero que gostem! :D
Última edição: emanuel9393 (Sex 27 Jul, 2012 02:10). Total de 1 vez.


As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...
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