Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero 🙏)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos 🥰

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

Demonstrações ⇒ Demonstração - modelo atômico de Bohr

Fórum de coleânea das melhores demonstrações de teoremas de química.
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emanuel9393
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Jul 2012 27 02:10

Demonstração - modelo atômico de Bohr

Mensagem não lida por emanuel9393 »

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Hipótese:
Considere um átomo de hidrogênio representado abaixo. Sendo e, \hbar, k_{0} e m a carga elétrica elementar, o momento angular do elétron, a constante eletrostática do vácuo e a massa do elétron.
Demonstração 3.JPG
Demonstração 3.JPG (6.2 KiB) Exibido 4174 vezes
Mostre que o raio de Bohr (r_{b}) e a energia mecânica (E_{m}) do elétron são dados por:
r_{b} \, = \, \frac{\hbar^{2}}{m \cdot k_{o} \cdot e^{2}} e E_{m} \, = \, - \, \frac{m \cdot k_{0}^{2} \cdot e^{4}}{2 \cdot \hbar^{2}} \cdot \left(\frac{1}{n}\right) onde n \, \in \, \mathbb{N}_{+}.
-------------------------------------------------------------------------------
Demonstração:
A força de atração eletrostática é a resultante centrípeta. Nesse caso, podemos fazer
Demosntração 3.1.JPG
Demosntração 3.1.JPG (5.56 KiB) Exibido 4174 vezes
F_{e} \, = \, \frac{m \cdot v^{2}}{r_{b}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}^{2}} \, = \, \frac{m \cdot v^{2}}{r_{b}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}} \, = \, m \cdot v^{2} \,\,\, (I)
Da definição de momento angular de uma partícula elementar em um raio de Bohr, tiramos:
m \cdot v \cdot r_{b} \, = \, \hbar \,\,\, \Rightarrow \,\,\, v \, = \, \frac{\hbar}{m \cdot r_{b}} \,\,\, (II)
Substituindo (II) em (I), encontramos:
k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}} \, = \, m \cdot v^{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, k_{0} \cdot \frac{e^{2}}{r_{b}} \, = \, m \cdot \frac{\hbar^{2}}{m^{2} \cdot r_{b}^{2}} \\ \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{r_{b} \, = \, \frac{\hbar^{2}}{m \cdot k_{0} \cdot e^{2}}}}
A energia mecânica total do elétron em uma orbital n qualquer é dada por:
E_{m} \, = \, E_{c} \, + \, E_{p} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, E_{m} \, = \, \frac{m \cdot v^{2}}{2} \, + \, k_{0} \cdot \frac{e \cdot \left(- \, e\right)}{r_{n}} \,\,\,\,\,\,\, (III)
De (I) e (III), tiramos:
E_{m} \, = \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{n}} \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{ r_{n}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{n}} \,\,\,\,\, (IV)
Conforme os postulados de Bohr, temos:
r_{n} \, = \, n^{2} \cdot r_{b} \,\,\, \left(n \, \in \, \mathbb{N}_{+}\right)\,\,\,\,\,\,\, (V)
De (V) e (IV), tiramos:
E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{n}} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 \cdot r_{b}} \cdot \left(\frac{1}{n^{2}}\right)
Substituindo o valor de r_{b} encontrado na expressão acima, vem:
E_{m} \, = \, - \, \frac{k_{0} \cdot e^{2}}{2 } \cdot \left(\frac{m \cdot k_{0} \cdot e^{2}}{\hbar^{2}}\right)\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \boxed{\boxed{ E_{m} \, = \, - \, \frac{m \cdot k_{0}^{2} \cdot e^{4}}{2 \cdot \hbar^{2}} \cdot \left(\frac{1}{n}\right)}}
Essa foi uma forma que eu criei de demonstrar os postulados de Bohr sem utilizar mecânica estatística.
Espero que gostem! :D
Editado pela última vez por emanuel9393 em 27 Jul 2012, 02:10, em um total de 1 vez.
As modernas teorias científica afirmam que em dentro de 5 bilhões de anos, a humanidade presenciará a morte do sol. Imagine como seria presenciar esse evento...
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