DemonstraçõesDemonstração - Radioatividade

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AndreFgm
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Fev 2014 21 18:01

Demonstração - Radioatividade

Mensagem não lida por AndreFgm » Sex 21 Fev, 2014 18:01

Propósito:

Demonstrar e justificar as equações relacionadas às reações de desintegração (reações de velocidade de 1ª Ordem), tais como a Equação da Velocidade de Desintegração e como a relação entre a Vida-Média, a Constante de Desintegração Radioativa e o Tempo de Meia-Vida (ou de Semidesintegração) .

Equações demonstradas neste tópico:
Resposta

a)\;\;\;\;v(t)=c.n(t)
b)\;\;\;\;n(t)=n_0.e^{-ct}
c)\;\;\;\;t_{1/2}=\frac{ln(2)}{c}
d)\;\;\;\;V_m=\frac{1}{c}
Pré-requisitos:
Resposta

b)\;\;\;\; Noção intuitiva de Equações Diferenciais Ordinárias Separáveis
c)\;\;\;\; Entender o conteúdo abordado em b)\; e saber realizar operações com logaritmos
d)\;\;\;\; Noção prévia de Cálculo Integral, da definição da Integral através dos limites bem como a compreensão do Método de Integração por Partes e da Regra de L'Hospital.
Hipótese:

Considere uma espécie química radioativa A, em quantidade de matéria inicial, em mols, de n_0, que começa a sofrer processo de desintegração a partir de um tempo t_0=0.
Admita n(t)\;\; como sendo a quantidade de matéria desse emissor e (v(t)=\left|\frac{dn(t)}{dt}\right|=-\frac{dn(t)}{dt}) , sua taxa instantânea (ou velocidade instantânea) de desintegração em um tempo determinado tempo t\;\; após t_0.

Demonstrações:

a)
Resposta

Uma vez que o processo de desintegração radioativa ocorre aleatoreamente entre os átomos da espécie A, é natural esperar que v(t)\propto n(t), já que quanto maior a quantidade de átomos do emissor, maior a probabilidade de que um desses átomos venha a sofrer uma reação de desintegração. Portanto, podemos concluir, e confirmar empiricamente, que:

a)\;\;\;\;v(t)=c.n(t), onde c\;\; é a constante de proporcionalidade entre a própria quantidade de matéria do emissor e o oposto de sua taxa de variação, que deve ser obtida através de experimentos.
Nota:
Resposta

Esse modelo já havia sido previsto pela cinética química, uma vez que a reação de desintegração é uma reação de velocidade de 1ª ordem.
b)
Resposta

Através da equação obtida, podemos encontrar a função n(t)\;\; se resolvermos a Equação Diferencial nela:
v(t)=c.n(t)
-\frac{dn(t)}{dt}=c.n(t)
\frac{1}{n}dn=-cdt
\int\limits_{n_0}^{n(t)}\frac{1}{n}dn=-c\int\limits_{t_0=0}^{t}dt
ln\left|n(t)\right|-ln\left|n_0\right|=-c(t-0)
ln|\frac{n(t)}{n_0}|\right=-ct
Portanto,

b)\;\;\;\;n(t)=n_0.e^{-ct}
c)
Resposta

Como a quantidade de matéria do emissor varia segundo uma função exponencial decrescente, é esperando que sofra reduções de fatores iguais em intervalos de tempos iguais. Assim, afim de saber o intervalo de tempo t_{1/2}\;\; necessário para que n(t)\;\;decaia de um fator de 2 (isto é, o tempo necessario para quen(t)\;\;se torne \frac{n(t)}{2}) devemos realizar algumas manipulações na equação encontrada :
Temos que: e=2^{\log_{e}{2}}=2^{\frac{1}{\log_{2}{e}}}=2^{\frac{1}{ln(2)}}
Substituindo o valor de e\;\;na equação b), temos:
n(t)=n_0.e^{-ct}=n_0.(2^{\frac{1}{ln(2)}})^{-ct}=n_0.2^{\frac{-ct}{ln(2)}}=n_0.\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{ct}{ln(2)}}
Observe que se dividirmos \Delta t pelo tempo de Meia-Vida(t_{1/2}), o resultado indicaria o número de vezes que o emissor teve sua quantidade de matéria (número de mols) reduzido pela metade. O mesmo significado que o expoente \frac{ct}{ln(2)}, na equação n_0=n_0.\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{ct}{ln(2)}}\;\;possui.
Logo:

\frac{\Delta t}{t_{1/2}}=\frac{ct}{ln(2)}
\frac{t}{t_{1/2}}=\frac{ct}{ln(2)}
Assim;
c)\;\;\;\;t_{1/2}=\frac{ln(2)}{c}
d)
Resposta

Agora vamos ao conceito mais complexo, o de Vida-Média: representa a média do tempo V_m\;\; que levou para cada átomo sofrer decaimento, ou o tempo mais provável que levará para um átomo aleatório sofrer desintegração, enfim, é a média de todos os tempos que todos os átomos de uma espécie química levaram para sofrer uma desintegração. Mostraremos que este número é uma constate para cada espécie. Suponha que após m\;\; intervalos de desintegrações sucessivas, as espécies químicas se esgotem de forma que durante k-ésimo intervalo do decaimento, em um tempo t_k, um número n_k\;\; de mols da amostra, de um total de n_0\;\; iniciais, sofrem desintegração. Dessa forma, a Vida-Média seria aproximada pela seguinte média ponderada:
V_m\approx\frac{\sum_{k=1}^{m}n_k.t_k}{n_0}
Se dividirmos, então, o tempo T\;\; total necessário para que a amostra encerre seu decaimento (supondo que isso ocorra) em m\;\; intervalos de tempo \Delta t, então o número de átomos n_k\;\; que sofreram desintegração no instante t_k\;\; se aproxima de n_k \approx v(t_k).\Delta t \;\; e V_m\;\; se aproxima para:
V_m\approx\frac{\sum_{k=1}^{m}v(t_k).t_k.\Delta t }{n_0}
Note que esse modelo ainda não contempla o fato de que, uma vez que a quantidade de matéria da espécie é uma função exponencial descrescente do tempo, ela se aproxima de zero, mas, devido ao comportamento assintótico, nunca de tornará nula. Logo, haverá infinitos decaimentos e o tempo total T, mencioado anteriormente, se tornaria tenderia ao infinito.
Para que a aproximação se torne mais eficiente, deveríamos tomar o número de intervalos m\;\; excessivamente grande, enquanto tomamos os intervalos de tempos \Delta t\;\; extremamente pequenos, fazendo com que a velocidade instantânea de desintegração v(t_k)\;\; no instante t_k\;\; se aproximasse da velocidade média durante este intervalo.
Nota:Esse tipo de raciocínio é extremamente utilizado no Cálculo Infinitesimal para se definir Integrais.
Portanto, teríamos de o valor exato de V_m\;\; se fizéssemos m\;\; tender ao infinito:
V_m=\lim_{m \rightarrow \infty } \frac{\sum_{k=1}^{m}v(t_k).t_k.\Delta t}{n_0}=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{v(t).t}{n_0}.dt
Substituindo em v(t)\;\; o seu valor determinado pela equação a)\;\;, e o de n(t) por seu valor definido na equação b)\;, temos:
V_m=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{c.v(t).t}{n_0}dt=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{c.n_0e^{-ct}.t}{n_0}dt=c\int\limits_{0}^{\infty}e^{-ct}tdt
Resposta

A integral deve ser resolvida pelo Método de Integração por Partes:
uv=\int udv + \int vdu
Fazendo-se u=e^{-ct}, portanto du=-ce^{-ct}dt
e fazendo-se v=t, portanto dv=dt
Temos:
e^{-ct}.t=\int e^{-ct}dt +\int t(-ce^{-ct})dt=
e^{-ct}.t=\frac{e^{-ct}}{-c}-c\int e^{-ct}dt
c\int e^{-ct}dt=\frac{-e^{-ct}}{c}-e^{-ct}t
\int e^{-ct}dt=\frac{-e^{-ct}}{c}(t+\frac{1}{c})}

Portanto:
V_m=c\int\limits_{0}^{\infty}e^{-ct}tdt=c[\frac{-e^{-ct}}{c}(t+\frac{1}{c})}]|^{\infty}_0=[{e^{-ct}(t+\frac{1}{c})]|^{0}_\infty
V_m=[e^{0}(0+\frac{1}{c})]-\lim_{t \rightarrow \infty } [e^{-ct}(t+\frac{1}{c})]

O limite acima deve ser resolvido através da Regra de L'Hospital, uma vez que represeta uma intedeterminação do tipo \frac{0}{0}:
\lim_{t \rightarrow \infty } [e^{-ct}(t+\frac{1}{c})]=\lim_{t \rightarrow \infty } (\frac{t+\frac{1}{c}}{e^{-ct}})=\lim_{t \rightarrow \infty } \frac{(t+\frac{1}{c})'}{(e^{-ct})'}=\lim_{t \rightarrow \infty } \frac{1}{-ce^{-ct}}=\frac{1}{-\infty }
Portanto,
\lim_{t \rightarrow \infty } [e^{-ct}(t+\frac{1}{c})]=0
Voltando a V_m, temos:
V_m=[e^{0}(0+\frac{1}{c})]-\lim_{t \rightarrow \infty } [e^{-ct}(t+\frac{1}{c})]=\frac{1}{c}-0
Logo,
d)\;\;\;\;V_m=\frac{1}{c}

Editado pela última vez por AndreFgm em Sex 21 Fev, 2014 18:01, em um total de 1 vez.



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