Dado o [tex3]\triangle ABC[/tex3]
Prova:
Sejam [tex3]a := \angle BAC, b := \angle ABC[/tex3]
e [tex3]c := \angle ACB[/tex3]
. Como o [tex3]\triangle FAE[/tex3]
é [tex3]A-[/tex3]
isósceles (por Pitot), então [tex3]\angle AFE = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3]
.
Repare que [tex3]\angle BOC = 180^{\circ} - \frac{(b+c)}2 = 180^{\circ} - \frac{(180^{\circ}-a)}2 = 90^{\circ} + \frac a2[/tex3]
logo [tex3]\angle BOG = 90^{\circ} - \frac a2[/tex3]
(suplementar ao [tex3]\angle BOC[/tex3]
), portanto [tex3]\angle GBO = \frac a2[/tex3]
.
Note que [tex3]BGFO[/tex3]
é cíclico, pois [tex3]\angle BGO = \angle BFO = 90^{\circ}[/tex3]
, logo [tex3]\angle GFB = \angle GOB = 90^{\circ} - \frac{a}2 = \angle AFE [/tex3]
, logo [tex3]E,F[/tex3]
e [tex3]G[/tex3]
são alinhados.
Este resultado é conhecido como o lema dos ângulos retos na corda do incírculo.
Pode-se mostrar, ainda, que [tex3]G[/tex3]
está na reta suporte da base média relativa ao vértice [tex3]C[/tex3]
do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
:
Sejam [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
os pontos médios de [tex3]BC[/tex3]
e [tex3]AB[/tex3]
respectivamente e seja [tex3]G' = MN \cap CI[/tex3]
. Note que [tex3]\angle G'CD = \frac{\angle B}2[/tex3]
e, como [tex3]MN \parallel AC[/tex3]
, [tex3]\angle CMG' = 180^{\circ} - \angle B[/tex3]
, logo [tex3]\angle CG'M = \frac{\angle B}2[/tex3]
e então [tex3]BM = CM = MG'[/tex3]
, logo [tex3]M[/tex3]
é circuncentro do [tex3]\triangle BCG'[/tex3]
e então [tex3]\angle BG'C = 90^{\circ}[/tex3]
, logo [tex3]G=G'[/tex3]
.
; seja [tex3]O[/tex3]
o seu incentro, sejam [tex3]D,E[/tex3]
e [tex3]F[/tex3]
os pontos de contato de seu incírculo com os lados [tex3]BC, AC[/tex3]
e [tex3]AB[/tex3]
respectivamente, seja [tex3]G[/tex3]
o pé da altura de [tex3]B[/tex3]
em relação à bissetriz interna do vértice [tex3]C[/tex3]
no [tex3]\triangle ABC[/tex3]
; então [tex3]G,E[/tex3]
e [tex3]F[/tex3]
são colineares.Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
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Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Demonstrações ⇒ Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
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Mai 2021
08
21:55
Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Editado pela última vez por FelipeMartin em 09 Mai 2021, 08:16, em um total de 2 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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Abr 2023
16
10:19
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicações desse teorema:
viewtopic.php?t=94429
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Abr 2023
16
10:25
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicação deste teorema :
viewtopic.php?p=261088#p261088
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Mai 2023
20
10:21
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicação deste teorema
viewtopic.php?f=3&t=105801
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Mai 2023
27
16:00
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Aplicação deste teorema:
viewtopic.php?f=3&t=105915&p=291334#p291334
viewtopic.php?f=3&t=105915&p=291334#p291334
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Jun 2023
26
15:44
Re: Demonstração - Lema dos ângulos retos na corda do incírculo
Mais um problema cuja solução requer conhecimento prévio deste belo teorema.
viewtopic.php?f=3&t=106227
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