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Usaremos: trigonometria, álgebra e uma pequena parte da demonstração da fórmula de Brahmagupta, como forma de encurtar nosso serviço nesse tópico.
Queremos demonstrar que a área de qualquer quadrilátero pode ser expressa em função dos lados e de dois ângulos opostos, todos utilizados na fórmula de Bretschneider: [tex3]S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos^2\theta }[/tex3]
DEMONSTRAÇÃO:
Seja ABCD um quadrilátero qualquer, com um par de ângulos opostos dados por alfa e beta e uma diagonal x.
Representa-se:
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Podemos expressar as áreas dos triângulos ABC e ACD como:
[tex3]S_{ABC}=\frac{absen\alpha }{2}\\
S_{ACD}=\frac{cdsen\beta }{2} [/tex3]
Mas, obviamente, a área do quadrilátero é a soma dessas duas áreas.
[tex3]S_{ABCD}=\frac{absen\alpha }{2}+\frac{cdsen\beta }{2}\\[/tex3]
Multiplicando ambos os lados por 2 e elevando ao quadrado, obteremos:
[tex3]4S_{ABCD}^2=(absen\alpha +cdsen\beta )^2=a^2b^2sen^2\alpha +2abcd.sen\alpha. sen\beta +c^2d^2sen^2\beta [/tex3]
Vamos guardar, a princípio, essa relação.
Podemos aplicar a lei dos cossenos nos triângulos ABC e ACD, pois x é uma diagonal comum a ambos.
[tex3]x^2=a^2+b^2-2abcos\alpha \\
x^2=c^2+d^2-2cdcos\beta\\
\rightarrow 2abcos\alpha -2cdcos\beta =a^2+b^2-c^2-d^2\\
abcos\alpha -cdcos\beta =\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2} \\[/tex3]
Elevando ambos os lados ao quadrado,
[tex3]a^2b^2cos^2\alpha -2abcd.cos\alpha.cos\beta +c^2d^2cos^2\beta =\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4} [/tex3]
Agora basta somar as duas relações que obtivemos (a primeira por área e a segunda pela lei dos cossenos):
[tex3]a^2b^2-2abcd(cos\alpha cos\beta -sen\alpha sen\beta )+c^2d^2=\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}+4S_{ABCD}^2\\[/tex3]
Mas lembre-se que definimos [tex3]\theta =\frac{\alpha+ \beta }{2}[/tex3]
Então podemos substituir aquela expressão trigonométrica por uma mais simples e facilmente calculável.
[tex3]a^2b^2-2abcd.cos(2\theta )+c^2d^2=\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}+4S_{ABCD}^2\\
a^2b^2-2abcd(2cos^2\theta -1)+c^2d^2=\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}+4S_{ABCD}^2\\
a^2b^2-4abcdcos^2\theta -2abcd+c^2d^2=\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}+4S_{ABCD}^2\\
(ab-cd)^2-4abcdcos^2\theta =\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4}+4S_{ABCD}^2\\\\
S_{ABCD}^2=\frac{(ab-cd)^2}{4}-\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{16}-abcdcos^2\theta[/tex3]
Agora é a parte que utilizamos uma fração da demonstração que já fizemos para Brahmagupta, neste tópico: viewtopic.php?f=3&t=93418
Observe: [tex3]S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(a^2+2ab+b^2)-(c^2-2cd+d^2)][(c^2+2cd+d^2)-(a^2-2ab+b^2)]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(a+b)^2-(c-d)^2][(c+d)^2-(a-b)^2]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}(a+b+c-d)(a+b-c+d)(-a+b+c+d)(a-b+c+d)}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}2(p-d)2(p-c)2(p-a)2(p-b)}\\
S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}[/tex3]
A explicação para essa parte está melhor no tópico citado.
A conclusão que precisamos é que
[tex3]\frac{(ab-cd)^2}{4}-\frac{(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{16}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)[/tex3]
E por fim, chegamos na fórmula de Bretschneider.
[tex3]S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos^2\theta }[/tex3]
onde theta é a média aritmética dos ângulos opostos.
