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Usaremos: trigonometria e álgebra.
Queremos demonstrar que a área de um quadrilátero inscritível (aquele que pode ser inscrito em uma circunferência) pode ser obtida utilizando-se exclusivamente os quatro lados do quadrilátero, substituídos na fórmula de Brahmagupta.
Fórmula: [tex3]S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}[/tex3]
DEMONSTRAÇÃO:
Seja ABCD um quadrilátero inscritível de lados a, b, c e d, com a diagonal AC valendo x.
Observe a figura:
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Desse modo, [tex3]\alpha +\beta =180º\rightarrow \begin{cases}
sen\alpha =sen\beta \\
cos\alpha =-cos\beta
\end{cases}[/tex3]
Além disso, sabemos que as áreas dos triângulos ABC e ACD podem ser expressas por
[tex3][\Delta ABC]=\frac{absen\alpha }{2}\\
[\Delta ACD]=\frac{cdsen\beta }{2}[/tex3]
A área do quadrilátero é, obviamente, a soma das áreas desses dois triângulos. Utilizando o fato de que os senos são iguais (pela condição de inscrição), obteremos:
[tex3]S_{ABCD}=\frac{(ab+cd)sen\alpha }{2}[/tex3]
Agora, podemos utilizar a lei dos cossenos para encontrar esse seno em função dos lados, pois a diagonal x é comum.
[tex3]x^2=a^2+b^2-2abcos\alpha \\
x^2=c^2+d^2-2cdcos\beta \\
a^2+b^2-2abcos\alpha =c^2+d^2+2cdcos\alpha \\
cos\alpha =\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\\
cos^2\alpha +sen^2\alpha =1\rightarrow sen\alpha =\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\right)^2}[/tex3]
Agora, substituindo esse valor de seno, já temos uma expressão da área do quadrilátero em função unicamente dos lados. Entretanto, queremos obter exatamente a fórmula de Brahmagupta, e isso será um pouco mais trabalhoso.
Vamos lá:
[tex3]S_{ABCD}=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\right)^2}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{(ab+cd)^2}{4}\left[\frac{4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4(ab+cd)^2}\right]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(a^2+2ab+b^2)-(c^2-2cd+d^2)][(c^2+2cd+d^2)-(a^2-2ab+b^2)]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}[(a+b)^2-(c-d)^2][(c+d)^2-(a-b)^2]}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}(a+b+c-d)(a+b-c+d)(-a+b+c+d)(a-b+c+d)}\\
S_{ABCD}=\sqrt{\frac{1}{16}2(p-d)2(p-c)2(p-a)2(p-b)}\\
S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}[/tex3]
Nesse algebrismo foi muito utilizado o produto notável da diferença entre quadrados: a²-b²=(a+b)(a-b)
No fim, obtivemos a fórmula de Brahmagupta.
