Demonstração rápida, publicada no livro Tópicos de Matemática, de Carlos Gomes.
Usaremos: trigonometria básica e álgebra.
Queremos demonstrar que a área de um triângulo qualquer pode ser obtida utilizando exclusivamente seus três lados, substituídos na fórmula de Heron: [tex3]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]
DEMONSTRAÇÃO:
Seja ABC um triângulo qualquer de lados a, b e c, com inraio r.
Traçaremos os segmentos que unem o incentro aos vértices - pedaços das bissetrizes.
Posteriormente, traçaremos os segmentos que unem o incentro aos três pontos de contato com o triângulo. Lembre-se que esses segmentos formam 90º com cada um dos lados.
A figura obtida é:
Sendo p o semi-perímetro de ABC,
p = x+y+z = x+a = y+b = z + c
Isso implica em
x = p-a
y = p-b
z = p-c
Lema: Se [tex3]\alpha, \beta, \gamma [/tex3]
são medidas positivas de três ângulos tais que [tex3]\alpha+ \beta+ \gamma =90º[/tex3]
, então [tex3]tg\alpha .tg\beta +tg\alpha .tg\gamma +tg\beta .tg\gamma =1[/tex3]
Podemos demonstrar isso utilizando trigonometria, pois
[tex3]tg(\alpha +\beta )=tg(90-\gamma )\rightarrow \frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha .tg\beta }=\frac{1}{tg\gamma }\rightarrow tg\alpha .tg\beta +tg\alpha .tg\gamma +tg\beta .tg\gamma =1[/tex3]
Mas perceba que
[tex3]tg\alpha =\frac{r}{x}\\
tg\beta =\frac{r}{y}\\
tg\gamma =\frac{r}{z}[/tex3]
Substituindo na expressão obtida no lema acima, temos que
[tex3]tg\alpha .tg\beta +tg\alpha .tg\gamma +tg\beta .tg\gamma =1\\
\frac{r}{x}\frac{r}{y}+\frac{r}{x}\frac{r}{z}+\frac{r}{y}\frac{r}{z}=1\rightarrow \frac{r^2(x+y+z)}{xyz}=1\\
\frac{r^2p}{xyz}=\frac{S^2}{pxyz}=1[/tex3]
Na última igualdade utilizamos o fato de S = pr, facilmente demonstrável utilizando a primeira figura: a área do triângulo é Bh/2
Por fim, basta substituir, já que sabemos os valores de x, y e z.
Eis a fórmula de Heron:
[tex3]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Demonstrações ⇒ Demonstração - Fórmula de Heron
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Crie uma conta ou entre para participar dessa discussão
Você precisa ser um membro para postar uma resposta
Crie uma nova conta
Ainda não é um membro? Registre-se agora!
Membro pode iniciar seus próprios tópicos e inscrever-se no dos outros para ser notificado sobre atualizações.
É gratuito e leva apenas 1 minuto
Entrar
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última mensagem
-
- 2 Respostas
- 3315 Exibições
-
Última mensagem por garciax
-
- 1 Respostas
- 1310 Exibições
-
Última mensagem por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 2125 Exibições
-
Última mensagem por LucasPinafi
-
- 0 Respostas
- 1768 Exibições
-
Última mensagem por snooplammer
-
- 0 Respostas
- 1206 Exibições
-
Última mensagem por PeterJC