)
Usaremos: trigonometria básica e álgebra.
Queremos demonstrar que a área de um triângulo qualquer pode ser obtida utilizando exclusivamente seus três lados, substituídos na fórmula de Heron: [tex3]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]
DEMONSTRAÇÃO:
Seja ABC um triângulo qualquer de lados a, b e c, com inraio r.
Traçaremos os segmentos que unem o incentro aos vértices - pedaços das bissetrizes.
Posteriormente, traçaremos os segmentos que unem o incentro aos três pontos de contato com o triângulo. Lembre-se que esses segmentos formam 90º com cada um dos lados.
A figura obtida é:
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p = x+y+z = x+a = y+b = z + c
Isso implica em
x = p-a
y = p-b
z = p-c
Lema: Se [tex3]\alpha, \beta, \gamma [/tex3] são medidas positivas de três ângulos tais que [tex3]\alpha+ \beta+ \gamma =90º[/tex3] , então [tex3]tg\alpha .tg\beta +tg\alpha .tg\gamma +tg\beta .tg\gamma =1[/tex3]
Podemos demonstrar isso utilizando trigonometria, pois
[tex3]tg(\alpha +\beta )=tg(90-\gamma )\rightarrow \frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha .tg\beta }=\frac{1}{tg\gamma }\rightarrow tg\alpha .tg\beta +tg\alpha .tg\gamma +tg\beta .tg\gamma =1[/tex3]
Mas perceba que
[tex3]tg\alpha =\frac{r}{x}\\
tg\beta =\frac{r}{y}\\
tg\gamma =\frac{r}{z}[/tex3]
Substituindo na expressão obtida no lema acima, temos que
[tex3]tg\alpha .tg\beta +tg\alpha .tg\gamma +tg\beta .tg\gamma =1\\
\frac{r}{x}\frac{r}{y}+\frac{r}{x}\frac{r}{z}+\frac{r}{y}\frac{r}{z}=1\rightarrow \frac{r^2(x+y+z)}{xyz}=1\\
\frac{r^2p}{xyz}=\frac{S^2}{pxyz}=1[/tex3]
Na última igualdade utilizamos o fato de S = pr, facilmente demonstrável utilizando a primeira figura: a área do triângulo é Bh/2
Por fim, basta substituir, já que sabemos os valores de x, y e z.
Eis a fórmula de Heron:
[tex3]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]
