DemonstraçõesDemonstração - Reta de Newton

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Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
Deleted User 23699
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Mar 2021 26 20:29

Demonstração - Reta de Newton

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Seja ABCD um quadrilátero tal que BA e CD intersectam-se em E, AD e BC intersectam-se em F e sejam N, L e M os pontos médios de EF, AC e BD, respectivamente.
Os pontos N, L e M são colineares e pertencem à chamada RETA DE NEWTON.
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DEMONSTRAÇÃO:



1. Faremos uso do Teorema da Base Média de um Triângulo, que diz:
"Dado um triângulo qualquer, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e tem um comprimento igual a metade do comprimento desse terceiro lado."

Assim sendo, sejam P, Q e R os pontos médios dos lados do triângulo EBC.
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Aplicando esse teorema para os triângulos ACE e ABC, segue que: QL//AE, QL = EA/2 ; LR//AB, LR = AB/2
Assim, os pontos Q, L e R são colineares e além disso,

[tex3]\frac{QL}{LR}=\frac{EA}{AB}[/tex3]

Analogamente, aplicando o teorema da base média nos triângulos BED e BCD,

[tex3]\frac{RM}{MP}=\frac{CD}{DE}[/tex3]

E, por fim, nos triângulos EPQ e EPN,
[tex3]\frac{PN}{NQ}=\frac{BF}{FC}[/tex3]

Multiplicando essas três expressões membro a membro, encontraremos que:

[tex3]\frac{QL.RM.PN}{LR.MP.NQ}=\frac{EA.CD.BF}{AB.DE.FC}[/tex3]


2. Usaremos o Teorema de Menelaus, já demonstrado aqui no fórum.

Aplicando Menelaus no triângulo EBC, olhando para a reta que "passa" pelos pontos A, D e F, percebemos que o lado direito da expressão obtida é igual a um.

Assim, [tex3]\frac{QL.RM.PN}{LR.MP.NQ}=1[/tex3]


E, como L, M e N são pontos das retas suportes dos lados do triângulo PQR, segue que o teorema de Menelaus garante sua colinearidade.




Movido de Ensino Médio para Demonstrações em Ter 06 Abr, 2021 16:29 por Ittalo25

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